第八章 立体几何初步 章末题型归纳总结-2022-2023学年高一数学新教材同步配套教学讲义（人教A版2019必修第二册）

第八章 立体几何初步 章末题型归纳总结 章末题型归纳目录 模块一：本章知识思维导图 模块二：典型例题 经典题型一：几何体的表面积与体积、直观图 经典题型二：外接球、内切球、棱切球 经典题型三：空间中的平行关系 经典题型四：空间中的垂直关系 经典题型五：空间角的求法（线线角、线面角、二面角） 经典题型六：空间距离的求法（线线距、线面距、点面距、面面距） 经典题型七：截面问题以及范围与最值问题 模块三：数学思想与方法 1 分类与整合思想②等价转换思想③函数与方程思想 模块一：本章知识思维导图 模块二：典型例题 经典题型一：几何体的表面积与体积、直观图 例1．（2023·山东济南·一模）已知正三角形边长为2，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】正三角形的高为， 根据斜二测画法的知识可知， 直观图的面积为. 故选：B 例2．（2023·高一课时练习）如图所示，是水平放置的的斜二测直观图，其中，则以下说法正确的是（    ） A．是钝角三角形 B．的面积是的面积的2倍 C．B点的坐标为 D．的周长是 【答案】D 【解析】根据题意，将还原成原图，如图， 对于A，中，有，，所以，，故是等腰直角三角形，A错误； 对于B，的面积是，的高为， 所以的面积为，的面积是的倍，B错误； 对于C，因为，B的坐标为，C错误； 对于D，的周长为，D正确 故选：D. 例3．（2023·全国·高一专题练习）在斜二测画法的规则下，下列结论正确的是（    ） （1）三角形的直观图一定是三角形            （2）正方形的直观图一定是菱形 （3）等腰梯形的直观图可以是平行四边形    （4）菱形的直观图一定是菱形 A．（1）（2） B．（1） C．（1）（3）（4） D．（1）（2）（3）（4） 【答案】B 【解析】由斜二测画法的规则可知（1）正确，（2）错误； （3）中的平行性质不变，但梯形两底平行且长度不相等，故在直观图中平行且长度不相等，故可能为平行四边形，（3）错误； （4）中由平行于轴的长度不变，平行于轴的长度减半，故菱形的直观图为平行四边形，（4）错误； 故选：B. 例4．（2023·全国·高一专题练习）早在一万多年前的新石器时代，生活在金丽衢地区古人就开始制作各种石器，今天在浦江上山遗址、水康湖西遗址、义乌桥头遗址等还可以见到各种当时的石器，现在农村还在使用的石磨就是从古代的石器演变而来的.如果一个石磨近似看作两个圆柱体拼合而成，每个圆柱体的底面直径是80cm，每个圆柱体的高为30cm，那么这两个圆柱体的表面积之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得一个石磨底面积为：底=， 侧= 所以一个石磨的表面积为：， 所以两个石磨的表面积为：. 故选：D 例5．（2023·高一课时练习）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1）.图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧DE，AC所在圆的半径分别是3和6，且，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设圆台上下底面的半径分别为，由题意可知，解得， ，解得：，作出圆台的轴截面，如图所示： 图中，， 过点向作垂线，垂足为，则， 所以圆台的高， 则上底面面积，，由圆台的体积计算公式可得： ， 故选：. 例6．（2023春·全国·高一专题练习）紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品,其制作始于明朝正德年间.紫砂壶的壶型众多,经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等.其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台,如图给出了一个石瓢壶的相关数据（单位:cm）,现在向这个空石瓢壶中加入（约）的矿泉水后,问石瓢壶内水深约（    ）cm A．2.8 B．2.9 C．3.0 D．3.1 【答案】C 【解析】解:由题知矿泉水的体积为, 将圆台的中轴面拿出,补全为一个三角形如图所示: 加入矿泉水后,记石瓢壶内水深为,水平面半径为, 由图可知, 所以有 即, 解得, 由, 得, 即, 解得:, 故加入矿泉水后圆台的体积为: , 解得, 所以. 故选:C 例7．（2023·高一单元测试）米斗是古代官仓、米行等用来称量粮食的器具，鉴于其储物功能以及吉祥富足的寓意，现今多在超市、粮店等广泛使用.如图为一个正四棱台形米斗（忽略其厚度），其上、下底面正方形边长分别为、，侧棱长为，若将该米斗盛满大米（沿着上底面刮平后不溢出），设每立方分米的大米重千克，则该米斗盛装大米约（    ） A．千克 B．千克 C．千克 D．千克 【答案】C 【解析】设该正棱台为