专题06 复数综合（知识串讲+热考题型+专题训练）-2022-2023学年高一数学下学期期中期末考点大串讲（人教A版2019必修第二册）

专题06 复数综合 知识点1 复数的有关概念 1、定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，实部是，虚部是. 复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)． 2、虚数单位：把平方等于－1的数用符号i表示，规定i2＝－1，我们把i叫作虚数单位． 3、复数集：①定义：全体复数所成的集合．②表示：通常用大写字母C表示． 【注意】复数概念说明： （1）复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i. （2）复数的实部是a，虚部是实数b而非bi. （3）复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是代数形式． 4、复数的分类：对于复数a＋bi， （1）当且仅当b＝0时，它是实数； （2）当且仅当a＝b＝0时，它是实数0； （3）当b≠0时，叫做虚数； （4）当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数． 这样，复数z＝a＋bi可以分类如下：. 【注意】复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 5、复数相等 在复数集C＝中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)， 我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d. 6、共轭复数 如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数叫做互为共轭复数． 复数z的共轭复数用表示，即当z＝a＋bi(a，b∈R)时，＝a－bi. 示例：z＝2＋3i的共轭复数是＝2－3i. 【注意】（1）当复数z＝a＋bi的虚部b＝0时，有z＝，也就是，任一实数的共轭复数是它本身；（2）在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称，并且它们的模相等． 知识点2 复数的几何意义 1、复平面：当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x轴为实轴，y轴为虚轴． 2、复数的几何意义 （1）任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的． （2）一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量是一一对应的． 【注意】实轴、虚轴上的点与复数的对应关系 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数， 原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数． 3、复数的模 （1）定义：向量的r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值 （2）记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|. （3）公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)． 知识点3 复数的四则运算 1、复数的加法运算法则与运算律 （1）加法法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数， 规定z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i. 即两个复数相加，就是实部与实部、虚部与虚部分别相加，显然两个复数的和仍然是复数． 注意：对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形， 即z1＝1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i，…，zn＝an＋bni， 则z1＋z2＋…＋zn＝(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn)i. （2）复数的加法运算律：复数的加法满足交换律、结合律，即对任意的z1、z2、z3∈C， 有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 2、复数的减法运算法则 （1）相反数：已知复数a＋bi(a，b∈R)，根据复数加法的定义， 存在唯一的复数－a－bi，使(a＋bi)＋(－a－bi)＝0.其中－a－bi叫做a＋bi的相反数． （2）减法法则：规定两个复数的减法法则，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b＋d)i. 即两个复数相减，就是实部与实部、虚部与虚部分别相减，显然两个复数的差仍是一个复数． 3、复数的乘法运算法则和运算律 （1）乘法运算法则：两个复数的乘法可以按照多项式的乘法运算来进行，只是把i2换成－1， 并把最后结果写成a＋bi(a、b∈R)的形式． 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c∈R)，则 z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋adi＋bci＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. 显然两个复数的积仍是复数． （2）复数乘法的运算律：对于任意z1、z2、z3∈C，有 z1·z2＝z2·z1(交换律)； (z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)(结合律)； z1·(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3(分配律)． 4、复数的乘方与虚数单位的乘方 （1）复数的乘方：复数的乘方也就是相同复数的乘积，根据乘法的运算律，实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立．即对复数z1、z2、z和自然数m、n有 zm·zn＝zm＋n，