专题02 导数在研究函数中的应用（知识串讲+热考题型+专题训练）-2022-2023学年高二数学下学期期中期末考点大串讲（人教A版2019）

专题02 导数在研究函数中的应用 知识点1函数的单调性与其导数的正负之间的关系 定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)： f′(x)的正负 f(x)的单调性 f′(x)>0 单调递增 f′(x)<0 单调递减 知识点2利用导数判断函数的单调性的一般步骤 (1)确定函数y＝f(x)的定义域； (2)求出导数f′(x)的零点； (3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 知识点3函数图象的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系 一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上： 导数的绝对值 函数值变化 函数的图象 越大 快 比较“陡峭”(向上或向下) 越小 慢 比较“平缓”(向上或向下) 知识点4函数极值的定义 （1）极小值点与极小值 若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． （2）极大值点与极大值 若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． （3）极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值． 知识点5函数极值的求法与步骤 （1）求函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时， ①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值； ②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值． （2）求可导函数f(x)的极值的步骤 ①确定函数的定义域，求导数f′(x)； ②求方程f′(x)＝0的根； ③列表； ④利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值． 知识点6函数最值的定义 （1）一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． （2）对于函数f(x)，给定区间I，若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；若对任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值． 知识点7求函数的最大值与最小值的步骤 函数f(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下： (1)求函数f(x)在区间(a，b)上的极值； (2)将函数f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 考点1 函数图象与导函数图象的关系 【例1】如图所示是函数的图象，其中为的导函数，则下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【解后感悟】(1)函数的单调性与其导函数的正负之间的关系：在某个区间(a，b)内，若f′(x)>0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递增；如果f′(x)<0，则y＝f(x)在这个区间上单调递减；若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性． (2)函数图象变化得越快，f′(x)的绝对值越大，不是f′(x)的值越大． 【变式1-1】已知函数的导函数的图像如图所示，则下列结论一定正确的是（    ） A．在上单调递增 B．曲线在处的切线斜率取得最大值 C．在处取得极小值 D．在处取得最大值 【变式1-2】已知函数的导函数图象如下图所示，则原函数的图象是（    ） A．B．C． D． 【变式1-3】设函数的图像如图所示，则导函数的图像可能为（    ） A． B．C． D． 考点2 利用导数求函数的单调区间 【例2】7．写出函数的严格增区间：____________． 【解后感悟】求函数y＝f(x)的单调区间常用解不等式f′(x)<0，函数在解集与定义域的交集上单调递减．解不等式f′(x)>0，函数在解集与定义域的交集上为单调递增． 【变式2-1】函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】已知函数，函数的单调递减区间为（    ）． A． B． C． D． 【变式2-3】已知函数，则函数的单调递增区间是_____________． . 考点3 由单调性利用导数求参数的取值范围 【例3】若函数存在单调递减区间，则实数b的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【