18.2.1.2 矩形-(配套课件)【初中学霸创新题】2022-2023学年八年级下册数学 人教版

第十八章 平行四边形 18.2.1 矩形 第2课时 矩形的判定 学习目标 学习重难点 难点 重点 1.经历矩形判定定理的探索过程，理解并掌握矩形的判定方 法. 2.能应用矩形判定解决简单的证明题和计算题. 经历矩形判定定理的探索过程，理解并掌握矩形的判定方法. 能应用矩形判定解决简单的证明题和计算题. 2 新课导入 如图，是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化. α α α 思 考 问题1 随着∠α 的变化两条对角线的长度将发生怎样的变化？ 猜想：当∠α= 90°时，平行四边形是矩形. 问题2 当两条对角线的长度相等时平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？ 猜想：当两条对角线相等时，平行四边形是矩形. 知识讲解 知识点1 矩形的判定（1） 对角线相等的平行四边形是矩形. 几何语言： 如图，在平行四边形ABCD中， ∵AC=BD， ∴平行四边形ABCD是矩形. A B D C 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB = DC,AB ∥ DC， ∴∠ABC + ∠DCB = 180°. 又∵BC = CB，AC = DB， ∴ △ABC≌△DCB . ∴∠ABC = ∠DCB = 90°. ∴ □ ABCD是矩形（矩形的定义）. 已知：如图，在□ABCD中，AC ，DB是它的两条对角线， AC=DB. 求证：□ABCD是矩形. A B D C 证一证 前面我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角.它的逆命题成立吗？即四个角都是直角的四边形是矩形吗？进一步，至少有几个角是直角的四边形是矩形？ 新课导入 思 考 A B C D 定理 有三个角是直角的四边形是矩形. 几何语言： 如图，在四边形ABCD中， ∵ ∠A=∠B=∠C=90°， ∴四边形ABCD是矩形. 知识点2 矩形的判定（2） 知识讲解 证明:∵ ∠A=∠B=∠C=90°， ∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°. ∴AD∥BC，AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形. ∴四边形ABCD是矩形. 已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°. 求证：四边形ABCD是矩形. A B C D 证一证 例1 如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O ， △ABO是等边三角形， AB=4，求□ABCD的面积. A B D C O 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA= OC，OB = OD. 又∵△ABO是等边三角形， ∴OA= OB=AB= 4，∴OA= OB=OC = OD= 4. ∴AC= BD= 2OA = 2×4 = 8. ∴□ABCD是矩形 （对角线相等的平行四边形是矩形）. ∴∠ABC=90°（矩形的四个角都是直角） . 例题解读 例1 如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O ， △ABO是等边三角形， AB=4，求□ABCD的面积. A B D C O 在Rt△ABC中,由勾股定理,得 AB 2 + BC 2 =AC 2 , ∴BC= . ∴S□ABCD=AB·BC=4× = . 如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA=OD，∠OAD=50°.求∠OAB的度数. 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC=AC，OB=OD=BD 又OA=OD，∴AC=BD， ∴四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=90° 又∠OAD=50°，∴∠OAB=40° 练 习 例2 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E，求证：四边形ADCE为矩形． 证明：在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠DAC，即∠DAC＝ ∠BAC. 又∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线， ∴∠MAE＝∠CAE＝ ∠CAM, ∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE＝ (∠BAC＋∠CAM)＝90°. 例2 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E，求证：四边形ADCE为矩形． 又∵AD⊥BC，CE⊥AN， ∴∠ADC＝∠CEA＝90°, ∴四边形ADCE为矩形（有三个角是直角 的四