第二章 高考增分策略(2)-（课件）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版理科）

高考增分策略(2) “新定义”函数 返回目录 高考增分策略 高考总复习·数学(理) 1 返回目录 高考增分策略 高考总复习·数学(理) 1 返回目录 高考增分策略 高考总复习·数学(理) 1 返回目录 高考增分策略 高考总复习·数学(理) 1 返回目录 高考增分策略 高考总复习·数学(理) 1 返回目录 高考增分策略 高考总复习·数学(理) 1 返回目录 高考增分策略 高考总复习·数学(理) 1 谢谢观看 返回目录 高考增分策略 高考总复习·数学(理) 1 所谓“新定义”函数，是相对于高中教材而言，指在高中教材中不曾出现或尚未介绍的一类函数．函数新定义问题的一般形式是：由命题者先给出一个新的概念、新的运算法则或者给出一个抽象函数的性质等，然后让学生按照这种“新定义”去解决相关的问题． 　(2022·长安模拟)已知著名的狄利克雷函数f(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，x∈Q，,0，x∈∁RQ，)) 其中R为实数集，Q为有理数集，若m∈R，则f(f(f(m)))的值为(　　) A．0 B．1 C．0或1 D．无法求 [解析]　若m∈Q，则f(m)＝1，所以f(f(f(m)))＝f(f(1))＝f(1)＝1. 若m∈∁RQ，则f(m)＝0，所以f(f(f(m)))＝f(f(0))＝f(1)＝1.故选B. [答案]　B [点评]　本题是以狄利克雷函数为背景创设的函数题，考查了逻辑推理和数学运算核心素养．破解本题的关键：一是明确狄利克雷函数的实质是分段函数，理解集合∁RQ表示无理数集；二是分类讨论，需对m分“是有理数”“是无理数”两类讨论；三是注意从内向外逐层脱去“外衣”f，即可求出所求函数值． 　黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为：定义在区间[0，1]上的函数R(x)＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(1,p)，x＝\f(q,p)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p，q都是正整数，\f(q,p)是既约真分数))，,0，x＝0，1或无理数．)) 若函数f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意x都有f(2－x)＋f(x)＝0，当x∈[0，1]时，f(x)＝R(x)，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(18,5))) ＋f(lg 30)＝________． [解析]　由于函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＋f(2－x)＝0， 所以f(x)＝－f(2－x)＝f(x－2)， 所以2是函数f(x)的周期， 则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(18,5))) ＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(18,5)－4)) ＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,5))) ＝－f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5))) ＝－R eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5))) ＝－ eq \f(1,5) ， f(lg 30)＝f(lg 3＋lg 10)＝f(lg 3＋1)＝f(lg 3－1)＝－f(1－lg 3)＝－R(1－lg 3)＝0，所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(18,5))) ＋f(lg 30)＝－ eq \f(1,5) . [答案]　－ eq \f(1,5) [点评]　本题以黎曼函数为背景，将函数的奇偶性和周期性、求函数值交汇，考查了逻辑推理和数学运算核心素养．破解本题的关键是判断函数f(x)的奇偶性与周期性，然后利用函数的奇偶性与周期性进行转化，把自变量的取值“转移”到区间[0，1]上，即可求出所求结果． $