专题10 立体几何（文科）-学易金卷：2023年高考数学一模试题分项汇编（全国通用）

专题10 立体几何 一．选择题 1．（2023•云南一模）已知球的半径为2，圆锥内接于球，当圆锥的体积最大时，圆锥内切球的半径为　　 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆锥的底面半径为，体积求导判断单调性求出的值，再根据圆锥内切球的半径等于圆锥轴截面的内切圆的半径求解内切球半径． 【详解】解：设圆锥的底面半径为，则圆锥的高为， 所以圆锥的体积， 令，则，所以． 因为， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当，即时，圆锥的体积最大，此时圆锥的高为，母线长为． 因为圆锥内切球的半径等于圆锥轴截面的内切圆的半径， 所以圆锥内切球的半径． 故选C． 2．（2023•成都一模）正三棱锥中，，顶点到底面的距离为2，其各顶点都在同一面上，则该球的半径为　　 A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】设顶点在底面内的射影点为，连接延长交于点，则为的中点，设球心为，球的半径为，根据正三棱锥的结构特点，可建立关于的方程，解出即可． 【详解】解：设顶点在底面内的射影点为，连接延长交于点，则为的中点， 设球心为，球的半径为， 当在上时， 由于，则， 则，解得（舍，因为此时，不符）， 当在延长线上时， 可得，解得， 故选D． 3．（2023•贵州一模）唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图甲所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图乙所示．已知半球的半径为，酒杯内壁表面积为，则圆柱的高和球的半径之比为　　 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的几何体，利用圆柱和球的表面积公式求出圆柱的高与球的半径关系，即可求解． 【详解】解：设圆柱的高为，因为忽略杯壁厚度，所以酒杯内壁表面积为半球的表面积与圆柱的侧面积之和， 即，解得， 所以圆柱的高和球的半径的比为． 故选B． 4．（2023•广西一模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三视图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，过底面外心作底面的垂线与线段的中垂面的交点即球心，利用勾股定理计算即可． 【详解】解：由三视图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，其中，平面，， 在中，， ， 的外接圆的直径为，， 外接球的半径为， 该几何体外接球的表面积为． 故选C． 5．（2023•成都一模）若正三棱锥的高为2，，其各顶点都在同一球面上，则该球的半径为　　 A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】首先利用球与锥体的外接关系求出球的半径． 【详解】解：正三棱锥的底面边长为，高为2，且三棱锥的四个顶点都在同一球面上， 如图所示： 所以：， 设点为的中心，为外接球的球心，可能在三棱锥内部，也可能在外部）， 所以， 则：，即，解得． 故选D． 6．（2023•河南一模）在三棱锥中，是边长为的正三角形，若三棱锥的外接球的表面积为，则三棱锥体积的最大值为　　 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意画出图形，求出三棱锥外接球的半径，再求出球心到平面的距离，得到三棱锥高的最大值，代入三棱锥体积公式求解． 【详解】解：如图， 设底面正三角形的中心为，连接交于，则， 是边长为，， 设三棱锥的外接球的球心为，连接，则，得， 则， 要使三棱锥体积最大，则在的延长线与球的交点处， 三棱锥高的最大值为， 可得三棱锥体积的最大值为． 故选B． 7．（2023•江西一模）将边长为4的正方形纸片折成一个三棱锥，使三棱锥的四个面刚好可以组成该正方形纸片，若三棱锥的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为　　 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出三棱锥的直观图，将三棱锥补成长方体，可计算出该三棱锥的外接球的半径，结合球体的表面积公式可求得结果． 【详解】解：在边长为4的正方形中，设、分别为、的中点， 、、分别沿、、折起， 使，、三点重合于点，满足题意，如下图所示： 翻折前，，， 翻折后，则由，，， 将三棱锥补成长方体，其中，， 设三棱锥的外接球的半径为，则，， 故该三棱锥的外接球的表面积为． 故选C． 8．（2023•浙江一模）已知正方体的棱长为1，是线段上的动点，则三棱锥的体积为　　 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由线面平行的判定定理证得面，从而得到，再结合锥体的体积公式即可得解． 【详解】解：因为在正方体中，，， 所以四边形是平行四边形， 故， 又面，面， 所以面， 因为是线段上的动点， 所以到面的距离与到面的距离相等， 所以． 故选B． 9．（2023•南昌一模）圆锥的底面半径为1，母线长为2，是圆锥的轴截面，是的中点，为底面圆周上的一个动点（异于，两点），则下列说法正确的是　　 A．存在点，使得 B．存在点，使