专题12 计数原理（理科）-学易金卷：2023年高考数学一模试题分项汇编（全国通用）

专题12 计数原理 一．选择题 1．（2023•河南一模）在某次活动中将5名志愿者全部分配到3个展区提供服务，要求每个展区至少分配一人，每名志愿者只分配到一个展区，则甲乙两名志愿者在同一展区的不同分配方案共有　　 A．72种 B．54种 C．36种 D．18种 【答案】C 【分析】将甲乙捆在一起，看作一个元素，再和其余3个元素，进行分组分配，即可求解． 【详解】解：将甲乙捆在一起，看作一个元素，再和其余3个元素，进行分组分配， 故可得不同分配方案共有：种， 故选C． 2．（2023•浙江一模）已知多项式，则　　 A．11 B．74 C．86 D． 【答案】B 【分析】利用二项式定理分别求出与一次项的系数，再相加即可． 【详解】解：对于，其展开通项公式为， 令，得，故， 对于，其展开通项公式为， 令，得，故， 所以． 故选B． 3．（2023•重庆一模）已知点的横纵坐标均是集合，，，0，5，中的元素，若点在第二象限内的情况共有种，则的展开式中的第5项为　　 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由分步乘法计数原理得出，再由二项式定理得出第5项． 【详解】解：由题意可知，，的展开式的通项为， 则展开式中的第5项为． 故选A． 4．（2023•广州一模）“回文”是古今中外都有的一种修辞手法，如“我为人人，人人为我”等，数学上具有这样特征的一类数称为“回文数”、“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如121，241142等，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回文数”共有　　 A．100个 B．125个 C．225个 D．250个 【答案】C 【分析】根据题意，对5位回文数有且仅有两位数字是奇数，分3步进行分析：先分析百位数字，可以在0到9十个数字中任取1个偶数，再分析十位、千位数字，是相同的，可以在0到9十个数字中任取1个奇数或偶数，最后分析万位、个位数字，是相同的，可以在1到9十个数字中任取1个偶读或奇数，求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】解：根据题意，对5位回文数有且仅有两位数字是奇数，分2种类型，分3步进行分析： 第一类：对于百位数字，可以在0到9十个数字中任取1个偶数，有5种取法， 对于十位、千位数字，是相同的，可以在0到9十个数字中任取1个奇数，有5种取法， 对于万位、个位数字，是相同的，可以在1到9十个数字中任取1个偶数，有4种取法， 则5位回文数有个， 第二类：对于百位数字，可以在0到9十个数字中任取1个偶数，有5种取法， 对于十位、千位数字，是相同的，可以在0到9十个数字中任取1个偶数，有5种取法， 对于万位、个位数字，是相同的，可以在1到9十个数字中任取1个奇数，有5种取法， 则5位回文数有个， 共有225个 故选C． 5．（2023•湖北一模）一组数据按照从小到大的顺序排列为1，2，3，5，6，8，记这组数据的上四分位数为，则二项式展开式的常数项为　　 A． B．60 C．120 D．240 【答案】B 【分析】由上四分位数求出，将通项表示出来，令的指数为0，即可得． 【详解】解：因为，所以， 所以展开式的通项为， 令，得，所以展开式的常数项为． 故选B． 6．（2023•兰州一模）2021年起，甘肃省普通高中开始实施新一轮课程改革并使用新版教材，某校数学组从人教版，人教版，苏教版，湘教版，北师大版，沪教版这6个版本的数学新教材中选出3个版本进行比较研究，要求人教社两个版本的教材不同时被选择，则选择的方法种数是　　 A．20 B．18 C．16 D．10 【答案】C 【分析】求得6个版本的教材中选3个版本的情况，和人教版的教材同时被选择的情况，利用间接法求解即可． 【详解】解：在6个版本的教材中选3个版本，共有种选择， 人教版的教材同时被选择，有种选择， 故人教社两个版本的教材不同时被选择，有种选择． 故选C． 7．（2023•安徽一模）为庆祝中国共产党第二十次全国代表大会胜利闭幕，某高中举行“献礼二十大”活动，高三年级派出甲、乙、丙、丁、戊5名学生代表参加，活动结束后5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则不同的排法共有　　种． A．40 B．24 C．20 D．12 【答案】B 【分析】根据相邻问题用捆绑法和不相邻问题用插空法即可求解． 【详解】解：由题意得，5名代表排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻， 则不同的排法共有种， 故选B． 8．（2023•江西一模）如图，这是第24届国际数学家大会会标的大致图案，它是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．现给这5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，且每个区域只涂一种颜色．若有5种颜色可供选择，则恰用4种颜色的概率是　　 A． B． C． D．