专题10 立体几何（理科）-学易金卷：2023年高考数学一模试题分项汇编（全国通用）

专题10 立体几何 一．选择题 1．（2023•成都一模）若正三棱锥的高为2，，其各顶点都在同一球面上，则该球的半径为　　 A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】首先利用球与锥体的外接关系求出球的半径． 【详解】解：正三棱锥的底面边长为，高为2，且三棱锥的四个顶点都在同一球面上， 如图所示： 所以：， 设点为的中心，为外接球的球心，可能在三棱锥内部，也可能在外部）， 所以， 则：，即，解得． 故选D． 2．（2023•成都一模）已知命题：空间中两条直线没有公共点，则这两条直线平行；命题：空间中三个平面，，，若，，，则．则下列命题为真命题的是　　 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】容易判断命题是假命题；可画出图形，可根据面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理由，且得出，从而判断命题是真命题，然后得出是真命题，从而可得出正确的选项． 【详解】解：空间中两条直线没有公共点，这两条直线可能异面，而不平行，命题是假命题； 如图，，，，，，在内任取一点，作，，则，， 又，，，，，命题是真命题， 为假命题，为真命题， 为真命题． 故选D． 3．（2023•南宁一模）如图，圆锥的轴截面为正三角形，点为顶点，点为底面圆心，过轴的三等分点（靠近点作平行底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，此圆柱的下底面在圆锥的底面上，则所得圆柱的体积与原圆锥的体积之比为　　 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意设圆锥轴截面的边长为，分别求得圆锥和圆柱的底面半径与高，进一步求得体积，则答案可求． 【详解】解：设圆锥轴截面的边长为，则圆锥的底面半径为，高为， 由题意可知，，则圆柱的底面半径为，高为， 圆柱的体积为， 圆锥的体积为， 圆柱的体积与原圆锥的体积之比为． 故选B． 4．（2023•河南一模）在三棱锥中，是边长为的正三角形，若三棱锥的外接球的表面积为，则三棱锥体积的最大值为　　 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意画出图形，求出三棱锥外接球的半径，再求出球心到平面的距离，得到三棱锥高的最大值，代入三棱锥体积公式求解． 【详解】解：如图， 设底面正三角形的中心为，连接交于，则， 是边长为，， 设三棱锥的外接球的球心为，连接，则，得， 则， 要使三棱锥体积最大，则在的延长线与球的交点处， 三棱锥高的最大值为， 可得三棱锥体积的最大值为． 故选B． 5．（2023•江西一模）已知长方体中，底面为正方形且边长为2，侧棱长为4，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为　　 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设以为球心，为半径的球面与侧面交于，两点，因为平面，则所求即为以为圆心，半径为作圆与面的交线，又，，则根据弧长公式即可求得结果． 【详解】解：设以为球心，为半径的球面与侧面交于，两点， 因为平面，平面，所以， 则，故， 所以点为的中点，，， 因为平面， 则以为球心，为半径的球面与侧面的交线， 即为以为圆心，半径为作圆与面的交线， 在△中，，则，所以， 所以弧长为． 故选C． 6．（2023•江西一模）将边长为4的正方形纸片折成一个三棱锥，使三棱锥的四个面刚好可以组成该正方形纸片，若三棱锥的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为　　 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出三棱锥的直观图，将三棱锥补成长方体，可计算出该三棱锥的外接球的半径，结合球体的表面积公式可求得结果． 【详解】解：在边长为4的正方形中，设、分别为、的中点， 、、分别沿、、折起， 使，、三点重合于点，满足题意，如下图所示： 翻折前，，， 翻折后，则由，，， 将三棱锥补成长方体，其中，， 设三棱锥的外接球的半径为，则，， 故该三棱锥的外接球的表面积为． 故选C． 7．（2023•郑州一模）已知直线和平面所成的角为，则直线和平面内任意直线所成的角的取值范围为　　 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线面角的定义和在内的射影与平面内的直线垂直，即可求解． 【详解】解：已知直线和平面所成的角为， 根据线面角的定义，线面角是平面外的直线与平面内所有直线所成角中最小的角，故与内直线所成角的最小值为， 当在内的射影与平面内的直线垂直时，与之所成的角为，故与内直线所成角的范围为． 故选D． 8．（2023•江西一模）已知点在棱长为2的正方体表面上运动，是该正方体外接球的一条直径，则的最小值为　　 A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】首先利用球和正方体的关系求出正方体的外接球的直径，进一步利用向量的线性运算和数量积运算求出结果． 【详解】解：由题意知：正方体的外接球的球心为， 正方体的外接球的直径， 则为的中点， 所以， 且， 故， 由于， 所以的最小值． 故选A． 9．（2023•江西一模）如图，内接于圆，为圆的直径，，，平面