专题09 解三角形-学易金卷：2023年高考数学一模试题分项汇编（全国通用）

专题09 解三角形 一．选择题 1．（2023•河南一模）是单位圆的内接三角形，角，，的对边分别为，，，且，则等于　　 A．2 B． C． D．1 【答案】C 【分析】由已知结合余弦定理及正弦定理及和差角公式进行化解可求，进而可求，然后结合正弦定理表示出，，，然后求解即可． 【详解】解：因为， 所以， 即， 由正弦定理得， 所以， 因为， 所以， 由为三角形内角得， 由正弦定理得， 所以， 故选C． 2．（2023•江西一模）在锐角中，角，，所对的边分别为，，．已知，则 的取值范围是　　 A． B． C．， D．， 【答案】B 【分析】由正弦定理边化角可得，由为锐角三角形可得，运用降次公式及辅助角公式将问题转化为求三角函数在上的值域． 【详解】解：， ， 由正弦定理得：，即， ， 或，解得或（舍去）， 又为锐角三角形，则， ，解得， ， 又， ， ， ， 即的取值范围． 故选B． 3．（2023•南充一模）在中，内角，，的对应边分别为，，，已知，且的面积为，则周长的最小值为　　 A． B．6 C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件，结合正弦定理，结合三角函数的恒等变换，解出角，再结合基本不等式的公式，即可求解． 【详解】解：， ， ， 由正弦定理可得，， ， ， ，， ，即，即， 的面积为， ，解得， 周长为，当且仅当时，等号成立． 故选C． 4．（2023•贵州一模）镜面反射法是测量建筑物高度的重要方法，在如图2所示的模型中．已知人眼距离地面高度，某建筑物高，将镜子（平面镜）置于平地上，人后退至从镜中能够看到建筑物的位置，测量人与镜子的距离，将镜子后移米，重复前面中的操作，则测量人与镜子的距离，则镜子后移距离为　　 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由镜面反射的性质可得三角形相似，可以解得没有移动前，镜子离建筑物的距离，再求镜子移动后，镜子离建筑物的距离，进而求出镜子移动的距离． 【详解】解：设镜子离建筑物米，由镜面反射可得，三角形相似，镜子没有移动前，由题意可得，解得， 镜子移动后，由题意可得，解得， 故选A． 5．（2023•杭州一模）国际数学家大会已经有了一百多年历史，每届大会都是吸引当时世界上研究各类数学和相关问题的世界顶级科学家参与21世纪的第一次国际数学家大会在我国北京举行，有来自100多个国家的4200多位数学家参加了本次大会．这次大会的“风车“会标取材于我国古代数学著作《勾股圆设方图》，该弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若下图中所示的角为，且大正方形与小正方形面积之比为，则的值为　　 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设直角三角形较短的直角边长为，则较长的直角边长为，求出小正方形的边长为，大正方形的边长为，结合题意可得，联立，求解即可得出答案． 【详解】解：设直角三角形较短的直角边长为，则较长的直角边长为， 小正方形的边长为，大正方形的边长为， 大正方形与小正方形面积之比为， ①， ，即， 又②， 联立①②得，， 故选C． 6．（2023•焦作二模）如图，在正方形中，，分别是边，上的点，，，则　　 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正切的和差公式得到，然后得到，即可得到． 【详解】解：由题可知， 则，即，． 故选D． 7．（2023•山西一模）已知一个足球场地呈南北走向．在一次进攻时，某运动员从点处开始带球沿正北方向行进16米到达处，再转向北偏东方向行进了24米到达处，然后起脚射门，则，两点的距离为　　 A．米 B．米 C．32米 D．米 【答案】D 【分析】根据条件作出示意图，利用余弦定理求解． 【详解】解：如图，根据题意可知，，，， 由余弦定理可得：， 解得，（米， 故选D． 8．（2023•吉林一模）近日，吉林市丰满区东山顶上新建了一处打卡地朱雀云顶观景塔，引来广大市民参观，某同学在与塔底水平的处利用无人机在距离地面的处观测塔顶的俯角为，在无人机正下方距离地面的处观测塔顶仰角为，则该塔的高度为　　 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意即可求得为直角三角形，计算出点与塔顶的高度差，即可求得塔高． 【详解】解：根据题意可得，，， 所以， 设塔顶为点，作于，如下图所示： 易知， 所以， 所以，同理，即塔高， 所以该塔的高度为． 故选B． 二．多选题 9．（2023•云南一模）已知在中，角，，所对的三边分别为，，，，下列说法正确的是　　 A．若，则是直角三角形 B．若，则 C．若，则的面积有最大值 D．若的面积为2，则的最小值是 【答案】ABD 【分析】对于，利用正弦定理即可得解； 对于，利用余弦定理的推论即可得解； 对于，先由余弦定理得到，从而由三角形面积公式得到，构造函数，利用导数求得（A）的最大值，由此