精品解析：河南省开封市2023届高三下学期第二次模拟考试理科数学试题

开封市2023届高三年级第二次模拟考试 理科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 在某次高中学科知识竞赛中，对2000名考生参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，，60分以下视为不及格，则下列说法中正确的个数有（ ） ①a值为0.300 ②不及格考生数为500 ③考生竞赛成绩的平均分约为70.5分（同一组中数据用该组区间中点值近似代替） ④考生竞赛成绩的中位数约为75分 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 展开式中的常数项是（ ） A. B. C. D. 6. a，b为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 如图所示的程序框图，所解决的问题是开始（ ） A. 计算的值 B. 计算的值 C. 计算的值 D. 计算的值 8. 已知棱长为的正四面体内有一个正方体玩具，若正方体玩具可以在该正四面体内任意转动，则这个正方体玩具的棱长最大值为（ ） A. B. C. D. 9. 把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把所得图象向右平移个单位，若最终所得图象对应的函数在区间上单调递增，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知等边的边长为，P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11. 已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点F重合，且与该抛物线在第一象限交于点M，若，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 12. 已知函数，且，则最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知复数满足，写出一个满足条件复数______． 14. 已知是等差数列，是公比为2的等比数列，且，则______． 15. 已知中，AB=5，AC=7，，则的面积为______． 16. 已知矩形，，过作平面，使得平面，点在内，且与所成的角为，则点的轨迹为______，长度的最小值为______． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17. 记为正项数列的前n项和，已知，． （1）求数列的前n项和； （2）若，求数列的前n项和． 18. 某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加．某研究小组为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据，其中和分别表示第i个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，计算得，，，．作散点图发现，除了明显偏离比较大的两个样本点，外，其它样本点大致分布在一条直线附近，为了减少误差，该研究小组剔除了这两个样本点，重新抽样补充了两个偏离比较小的样本点，． （1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）； （2）建立地块的植物覆盖面积x（单位：公顷）和这种野生动物的数量y的线性回归方程； （3）经过进一步治理，如果每个地块的植物覆盖面积增加1公顷，预测该地区这种野生动物增加的数量． 参考公式：线性回归方程，其中，． 19. 如图1，在直角梯形ABCD中，，，，E为AC的中点，将沿折起（如图2）．在图2所示的几何体D-ABC中： （1）若AD⊥BC，求证：DE⊥平面ABC； （2）若BD与平面ACD所成的角为60°，求二面角D-AC-B的余弦值． 20. 如图，过抛物线的焦点F作直线l交E于A，B两点，点A，B在x轴上的射影分别为D，C，当AB平行于x轴时，四边形ABCD的面积为4． （1）求p的值； （2）过抛物线上两点的弦和抛物线弧围成一个抛物线弓形，古希腊著名数学家阿基米德建立了这样的理论：以抛物线弓形的弦为底，以抛物线上平行于弦的切线的切点为顶点作抛物线弓形的内接三角形，则抛物线弓形的面积等于该内接三角形面积的倍．已知点P在抛物线E上，且E在点P处的切线平行于AB，根据上述理论，从四边形ABCD中任取一点，求该点位于图中阴影部分的概率的取值范围． 21. 已知函数图象上三个不同的点