二次函数定义、图像、性质讲义 2022-2023学年北师大版九年级数学下册

二次函数定义、图像、性质讲义 1 二次函数的定义 要点一、二次函数的定义 一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数. 要点诠释： 如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小. 【例题精选】 例1下列函数属于二次函数的是（　　） A．y＝﹣3x2+1 B．y＝ C．y＝ D．y＝2x+5 例2 若y＝（a+2）x|a|+1是以x为自变量的二次函数，则a＝______． 【随堂练习】 1．下列函数中，是二次函数的是（　　） A．y＝6x2+1 B．y＝6x+1 C．y＝ D．y＝﹣+1 2．下列关于x的函数一定为二次函数的是（　　） A．y＝2x+1 B．y＝﹣5x2﹣3 C．y＝ax2+bx+c D．y＝x3+x+1 3．下列函数中，y关于x的二次函数是（　　） A．y＝ax2+bx+c B．y＝ C．y＝x（x+1） D．y＝（x+2）2﹣x2 2 二次函数的图象与性质 1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： 　　①；②；③；④， 　　其中；⑤.（以上式子a≠0） 　　几种特殊的二次函数的图象特征如下： 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 当时 开口向上 当时 开口向下 (轴) (0，0) (轴) (0，) (，0) (，) () 2.抛物线的三要素： 　　开口方向、对称轴、顶点. 　　(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同. 　　(2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线. 【例题精选】 例1二次函数y＝（x﹣4）2+5的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（　　） A．向上，直线x＝4，（4，5） B．向上，直线x＝﹣4，（﹣4，5） C．向上，直线x＝4，（4，﹣5） D．向下，直线x＝﹣4，（﹣4，5） 例2已知抛物线y＝﹣x2+4x+3，则该抛物线的顶点坐标为（　　） A．（﹣2，7） B．（2，7） C．（2，﹣9） D．（﹣2，﹣9） 例3把抛物线y＝x2﹣2x+4向左平移2个单位，再向下平移6个单位，所得抛物线的顶点坐标是（　　） A．（3，﹣3） B．（3，9） C．（﹣1，﹣3） D．（﹣1，9） 【随堂练习】 1．抛物线的y＝x2﹣2x的对称轴为直线（　　） A．x＝﹣1 B．x＝﹣2 C．x＝1 D．x＝2 2．抛物线y＝﹣3（x+1）2﹣2的顶点坐标是（　　） A．（1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（﹣1，﹣2） 3．下列二次函数的图象的对称轴是y轴的是（　　） A．y＝﹣（x+1）2+1 B．y＝（x﹣1）2+1 C．y＝﹣（x﹣1）2+1 D．y＝﹣x2+1 4．对二次函数y＝x2+2x+3的性质描述正确的是（　　） A．该函数图象的对称轴在y轴左侧 B．当x＜0时，y随x的增大而减小 C．函数图象开口朝下 D．该函数图象与y轴的交点位于y轴负半轴 3二次函数的解析式 　　(1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式. 　　(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式. 　　(可以看成的图象平移后所对应的函数.) 　　(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式： 　 　　（a≠0）.(由此得根与系数的关系：). 要点诠释： 求抛物线（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用． 【例题精选】 例1 将二次函数y＝﹣x2+4x﹣5化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（　　） A．y＝﹣（x+2）2﹣1 B．y＝﹣（x+2）2+1 C．y＝﹣（x﹣2）2+1 D．y＝﹣（x﹣2）2﹣1 例2 已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（1，0），B（﹣1，0），C（0，﹣2）．求此抛物线的函数解析式和顶点坐标． 【随堂练习】 1．用配方法将二次函数y＝x2﹣2x化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（　　） A．y＝﹣（x﹣1）2+1 B．y＝（x+1）2﹣1 C．y＝（x+1）2+1 D．y＝（x﹣1）2﹣1 2．把二次函数y＝﹣x2﹣2x+3配方化为y＝a（x﹣h）2+k形式是（　　） A．y＝﹣（x﹣1）2﹣4 B．y＝﹣（x+1）2+4 C．y＝﹣（x﹣1）2+3 D．y＝﹣（x+1）2﹣3 3．一个二次函数图象的顶点坐标是（2，4），且过另一点（0，﹣4），则这个二次函数的解析式为（　　） A．y＝﹣2（x+2）2+4 B．y＝