2.4.1平面向量基本定理（讲+练）-【高分突破系列】2022-2023学年高一数学同步讲练测（北师大版2019必修第二册）

2.4.1平面向量基本定理 目 录 速 览 第一部分：考点梳理知识方法技巧总结 第二部分：必会技能常考题型及思想方法 第三部分：配套必刷好题 必会题型一：基底表示向量 必会题型二：利用平面向量基本定理求值 必会题型三：利用平面向量基本定理求值及范围综合 必会题型四：利用平面向量基本定理综合 第一部分：考点梳理知识方法技巧总结 必会知识一 平面向量基本定理 1．平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使．若不共线，我们把叫作表示这一平面内所有向量的一个基底． 2．平面向量基本定理的证明 平面向量基本定理包括两个方面的内容，一是存在性，即存在实数，，使． 如图2-4.1-1(1)，对于向量和一个基，首先将都平移到同一个起点，且令，然后过点分别作与所在直线的平行线，交所在直线于两点，如图2-4.1-1(2)，则有，，所以． 二是唯一性，即对任一向量，存在唯一实数对，使．事实上，若存在，且，则，即． 因为与不共线，所以．所以． 3．平面向量基本定理的应用：平面向量基本定理是向量运算代数化的基础，要理解其实质．基底的选取是任意的，只要是不共线的两个向量都可以组成一个基底，因此常用基底表示向量，用来证明平面几何中的线线平行、重合、相交，线段相等等问题． (1)已知，求作的方法如下： (1)利用三角形法则； (2)利用平行四边形法则． (2)已知基底，用表示其他向量． (1)利用三角形法则或平行四边形法则； (2)设，用待定系数法求出． (3)平面向量基本定理的唯一性及其应用． 设是同一平面内的两个不共线向量，若，则有． 这个方法应用广泛，常用于待定系数法确定向量的过程中． 必会知识二 平面向量基本定理的拓展 由向量共线定理可知，平面内任意向量均可以由它的一个非零共线向量来表示，且表示是唯一的．因此，平面向量基本定理可看作该定理由一维到二维平面的一个推广．同样，把二维的平面向量基本定理推广到多维空间是如下情形：个不共线的向量与个实数所组成的向量叫作向量的线性组合，当向量是向量的线性组合，即时，称向量是可以分解成向量的线性组合，其中是关于向量的一个基底． 必会知识三 平面向量基本定理中实数的取值范围 如图6-3.1-3，，以为邻边作一平行四边形，将的边所在的直线画出来，将平面分成9个部分，对于平面上任一向量，由平面向量基本定理可得：存在唯一有序实数对，使得．对于点的位置与的取值有以下结论： (1)若点与点重合，则． (2)若点与点重合，则． (3)若点与点重合，则． (4)若点与点重合，则． (5)若点在直线上，则． (6)若点在直线上，则． (7)若点在直线上，则． (8)若点在直线上，则． (9)若点在直线上，则． (10)若点在直线上，则． (11)若点在①②③区域内(不包含边界)，则有；若点在④⑤⑥区域内，则有；若点在⑦⑧⑨区域内，则有；若点在③⑥⑨区域内，则有；若点在②⑤⑧域内，则有；若点在①④⑦区域内，则有． 第二部分：必会技能常考题型及思想方法纳 必会题型一：基底表示向量 1．（2023春·安徽阜阳·高一校考阶段练习）设、是不共线的两个非零向量，则下列四组向量不能作为基底的是（    ） A．和 B．与 C．与 D．与 2．（2023·全国·高一专题练习）设是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的一组是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 3．（2023秋·辽宁葫芦岛·高一统考期末）在中，D为AB边的中点，记，则 （    ） A． B． C． D． 4．（2023·广西柳州·统考模拟预测）在中，点在边上，，记，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2023春·广东东莞·高一校考阶段练习）如图，在中，是的中点，若，，则等于（　　） A． B． C． D． 6．如图所示，在平行四边形中，与交于点，是线段的中点，的延长线与交于点.若，，则等于（    ） A． B． C． D． 7．（2022秋·新疆昌吉·高三校考期末）我国东汉数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理 的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如图所示，在“赵爽弦图”中，若 ，则（    ） A． B． C． D． 8．（2023春·安徽阜阳·高二安徽省阜阳第一中学校考阶段练习）如图在△ABC中，点D是AC的中点，点E是BD的中点，设＝，＝. (1)用表示向量； (2)若点F在AC上，且，求AF∶CF. 必会题型二：利用平面向量基本定理求值 1．（2023·全国·高一专题练习）如图，在中，，，则（    ） A． B． C． D．1 2．（2023春·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校