7下第11章 因式分解-2023年七年级数学冲刺满分压轴题（冀教版）

冀教版7下第11章 因式分解 满分冲刺压轴题 1．（2022秋·全国·九年级专题练习）阅读下列材料： 1637 年笛卡儿(R．Descartes，1596 − 1650)在其《几何学》中，首次应用待定系数法将 4 次方程分解为两个 2 次方程求解，并最早给出因式分解定理． 他认为，若一个高于二次的关于 x 的多项式能被 () 整除，则其一定可以分解为 () 与另外一个整式的乘积，而且令这个多项式的值为 0 时， x = a 是关于 x 的这个方程的一个根． 例如：多项式 可以分解为 () 与另外一个整式 M 的乘积，即 令时，可知 x =1 为该方程的一个根． 关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下： 分解因式： 观察知，显然 x=1 时，原式 = 0 ，因此原式可分解为 () 与另一个整式的积． 令：，则=，因等式两边 x 同次幂的系数相等，则有：，得，从而 此时，不难发现 x= 1 是方程 的一个根． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题： （1）若 是多项式 的因式，求 a 的值并将多项式分解因式； （2）若多项式 含有因式及 ，求a+ b 的值． 【答案】（1）；（2）a+ b= 【分析】（1）已知多项式的因式，将多项式分解为该因式与另外一个整式乘积的形式，将这个新构造的式子中的系数与原式中的系数进行对照，列方程即可得到答案 （2）已知多项式中含有因式，根据材料中的内容可知因式的解为零，所以解得未知数的值，再利用未知数的值带入原式即可求解到参数的值，将结果相加即可求得答案 【详解】（1）令：， 因等式两边 x 同次幂的系数相等，则有：， 解得：， 从而=x3+1=（x+1）(x2-x+1)； （2）设（其中M为二次整式）， 由材料可知：x+1=0或x-2=0； 所以：x=-1，x=2是方程的解， 所以， 解得a=8，b=-39， ∴a＋b=8+(-39) =-31． 【点睛】本题考查的是因式分解的应用，理解因式分解定理的推演过程是解答此题的关键． 2．（2019·全国·七年级专题练习）分解因式：. 【答案】 【分析】将拆成，原式即可利用完全平方公式和平方差公式因式分解． 【详解】解：原式， ， ． 【点睛】此题主要考查了运用公式法分解因式，本题没有公因式可提取，又不能直接应用公式，因而考虑用拆项法制造分组分解的条件.拆项法是因式分解中一种技巧性较强的方法，它通常是把多项式中的某一项拆成几项，再分组分解， 3．（2022秋·全国·八年级专题练习）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将和分别看作一个整体，利用十字相乘法因式分解，再利用提公因式法因式分解，最后利用公式法中的完全平方公式因式分解； （2）原式是关于x、y、z的轮换式，若将原式视为关于x的多项式，则当x=y时，原式=0，故原式含有因子，又因为原式是关于x，y，z的轮换对称式，故原式还含因子，，又因为原式为x，y，z的五次式，因此可以设 ，利用待定系数法即可求解． 【详解】（1）解： （2）解：当时，原式等于0，故原式含有因子， 又因为原式是关于x，y，z的轮换对称式，故原式还含因子，， 又因为原式为x，y，z的五次式，故可设 令，，得， 令，，得， 解得，， 所以． 【点睛】本题主要考查了十字相乘法、提公因式法、公式法以及待定系数法，熟练掌握和运用这些方法因式分解是解题的关键． 4．（2019春·江西九江·八年级九江市同文中学校考期中）已知方程组的解x为非正数，y为负数． （1）求a的取值范围； （2）化简∣a-3∣+∣a+2∣； （3）教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2-2ab+b2叫做完全平方式．”如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等． 例如：分解因式x2+2x-3=（x2+2x+1）-4=（x+1）2-4=（x+1）2-4=（x+1+2）（x+1-2）=（x+3）（x-1）； 根据阅读材料用配方法解决下列问题： ①分解因式：m2-4m-5= ②当a，b为何值时，多项式a2+b2-4a+6b+13=0． ③当a，b为何值时，多项式a2-2ab+2b2-2a-4b+10=0． 【答案】（1） ；（2）5；（3）①（m-5）（m+1）；②当a=2，b=﹣3时；③当a=4，b=3时，原式=0 【分析】（1）直接求解，得到含有a的解，然后根据题干给出的x为非正数，y为负数，得到关于a的一元一次不等式组，求出解集