2.2从位移的合成到向量的加减法（讲+练）-【高分突破系列】2022-2023学年高一数学同步讲练测（北师大版2019必修第二册）

2.2 从位移的合成到向量的加减法 目 录 速 览 第一部分：考点梳理知识方法技巧总结 第二部分：必会技能常考题型及思想方法 第三部分：配套必刷好题 必会题型一：向量的加法 必会题型二：向量的加、减法运算 必会题型三：用已知向量表示其他向量 必会题型四：向量加、减法综合 第一部分：考点梳理知识方法技巧总结 必会知识一 向量的加法运算 1．定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。 2．三角形法则：已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，再作向量，向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝ 3．平行四边形法则：已知不共线的两个向量a，b，在平面内任取一点O，以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，对角线就是a与b的和． 【规定】零向量与任一向量a的和都有a＋00＋a＝． 【名师点睛】在使用向量加法的三角形法则时，要注意“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合，则以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量即两向量的和；向量加法的平行四边形法则的应用前提是“共起点”，即两个向量是从同一点出发的不共线向量． 必会知识二 向量加法的运算律 1．结合律： 如图2-2-1，，所以． 2．交换律：． 如图2-2-2，，所以． 【名师点睛】 (1)向量加法的交换律、结合律对任意向量都成立． (2)因为向量的加法运算满足交换律和结合律，所以求多个向量的加法运算就可以按照任意的次序与任意的组合进行．如． 必会知识三 向量的减法 1．相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a． (1)规定：零向量的相反向量仍是仍是零向量； (2)－(－a)＝a； (3)a＋(－a)＝(－a)＋a＝0； (4)若a与b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0． 【名师点睛】相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向量必为平行向量． 2．向量的减法 (1)定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量． (2)几何意义：以O为起点，作向量＝a，＝b，则 ＝a－b， 如图所示，即a－b可表示从向量b的终点指向向量a的终点的向量． 【名师点睛】在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接向量终点，箭头指向被减向量”即可． 必会知识四 向量求和的多边形法则 1．多边形法则：由两个向量加法的定义可知，两个向量的和仍是一个向量，这样就能把三个、四个或任意多个(有限)向量相加．现以四个向量为例说明，如图6-2.1-10，已知向量，在平面上任选一点，作，则． 已知个向量，把这个向量首尾顺次相连，以第一个向量的起点为起点，第个向量的终点为终点的向量叫作这个向量的和向量．当首尾顺次相连的向量构成封闭的“向量链”时，各向量的和就是，这个法则叫作向量求和的多边形法则． 如图6-2．1-11，在边形中，有． 2．多边形识别的作用：可以证明一个图形为封闭图形，如不共线的三个向量，若，则由这三个向量可以构成一个三角形． 必会知识五 向量三角不等式 当向量不共线时，作，则，如图6-2.1-12(1)．根据三角形的三边关系，则有． 当与共线且同向或中至少有一个为零向量时，作法同上，如图6-2.1-12(2)，此时．当与共线且反向或中至少有一个为零向量时，不妨设，作法同上，如图6-2.1-12(3)，此时．故对于任意向量，总有．①因为，所以，即||．② 将①②两式结合起来即为||．此不等式可称为向量三角不等式． 第二部分：必会技能常考题型及思想方法纳 必会题型一：向量的加法 1．（2023春·广东东莞·高一校考阶段练习）化简的结果等于（    ） A． B． C． D． 2．（2023·河北·高三学业考试）在中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（2023春·河北保定·高一校考阶段练习）向量（    ） A． B． C． D． 4．（2023春·湖北武汉·高一武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考阶段练习）是平行四边形外一点，用、、表示，正确的表示为（    ） A． B． C． D． 5．（2023·高三课时练习）如图，设D、E、F分别为的三边BC、CA、AB的中点，则（    ）． A． B． C． D． 6．[多选]（2023春·河南南阳·高一南阳中学校考阶段练习）下列等式中成立的有（    ） A．； B．； C． D． 7．[多选]（2023春·山东济宁·高一校考阶段练习）如图，在平行四边形中，下列计算正确的是（    ）． A． B． C． D． 8．（2023春·全国·高一专题练习）已知空间四边形，连接，，则______． 9．（2023·全国·高一专题练习）已知长方形一边长为，相邻边长边为，，，，则_______