专题06 对角互补模型-2022-2023学年七年级数学下册全等三角形的七大模型全攻略（北师大版，成都专用）

专题06 对角互补模型 基本模型： 例题精讲 例1．（基本模型）在等边中，点D为的中点，点F在延长线上，点E在射线上，． （1）如图1，当点E与点B重合时，则与的数量关系是_________； （2）当点E在线段上时，（1）中的结论是否仍然成立？请结合图2说明理由； （3）如图3，当点E在的延长线上时，，请直接写出的长． 例2．（基本模型2）已知：如图，在等边△ABC中，点O是BC的中点，∠DOE＝120°，∠DOE绕着点O旋转，角的两边与AB相交于点D，与AC相交于点E． (1)若OD，OE都在BC的上方，如图1，求证：OD＝OE． (2)在图1中，BD，CE与BC的数量关系是 ． (3)若点D在AB的延长线上，点E在线段AC上，如图2，直接写出BD，CE与BC的数量关系是 ． 例3．（培优综合）如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，且与点B，C不重合，连接AD．作以∠FAD为直角的等腰直角△ADF． (1)若AB＝AC，∠BAC＝90° ①当点D在线段BC上时，试探讨CF与BD的数量关系和位置关系； ②当点D在线段BC的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立，请说明理由； (2)若AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC．上，且CF⊥BD时，如图3，试求∠BCA的度数． 【变式训练1】问题发现：如图1，已知为线段上一点，分别以线段，为直角边作等腰直角三角形，，，，连接，，线段，之间的数量关系为______；位置关系为_______． 拓展探究：如图2，把绕点逆时针旋转，线段，交于点，则与之间的关系是否仍然成立？请说明理由． 【变式训练2】已知：，，． (1)如图1当点在上，______． (2)如图2猜想与的面积有何关系？请说明理由．（温馨提示：两三角形可以看成是等底的） 【变式训练3】在Rt△ABC中，，，点D是直线AB上的一点，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接EB． (1)操作发现 如图1，当点D在线段AB上时，请你直接写出AB与BE的位置关系为______；线段BD、AB、EB的数量关系为______； (2)猜想论证 当点D在直线AB上运动时，如图2，是点D在射线AB上，如图3，是点D在射线BA上，请你写出这两种情况下，线段BD、AB、EB的数量关系，并对图2的结论进行证明； (3)拓展延伸 若，，请你直接写出△ADE的面积． 【变式训练4】在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系． (1)如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM＝DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是 ； (2)如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（1）问的结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由． (3)如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，探索BM、NC、MN之间的数量关系如何？并给出证明． 课后训练 1．在中，，且E为边的中点，连接，以为边向上作等边三角形，连接，则的长为_______． 2．如图在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别交CB、DC延长线于E、F点且∠EAF＝45°，如果BE＝1，DF＝7，则EF＝__． 3．已知四边形 中，，，，，，将绕点旋转． (1)当旋转到如图的位置，此时的两边分别交，于，，且，求证：； (2)当旋转到如图的位置，此时的两边分别交，于，，且时，小颖猜想中的仍然成立，并尝试作出了延长至点，使，连接，请你证明小颖的猜想； (3)当旋转到如图的位置，此时的两边分别交，于，，猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的猜想． 4．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°． (1)当点D在AC上时，如图①，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请证明你的猜想； (2)将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°），如图②，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． 5．已知：在中，于点，． (1)如图1，的度数为________度． (2)如图2，点、分别在、上，且，连接、，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，交于点，过点作于点，连接，点在延长线上，连接、，若，判断线段与的数量和位置关系，并证明你的结论． 6.（1）如图1，正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的点，EF＝BE+DF，请你直接写出∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系：　 　． （2）如图2，在四边形ABCD中，