专题04 一线三等角模型-2022-2023学年七年级数学下册全等三角形的七大模型全攻略（北师大版，成都专用）

专题04 一线三等角模型 基本模型： 例题精讲 例1．（直角K字型）如图，在中，，，直线经过点C，且于D，于E． (1)当直线绕点C旋转到①的位置时，求证： ①； ②； (2)当直线绕点C旋转到②的位置时，求证：； (3)当直线MN绕点C旋转到③的位置时，试问具有怎样的数量关系？请直接写出这个等量关系，不需要证明． 例2．（非直角K字型）【探究】如图①，点B、C在的边上，点E、F在内部的射线上，分别是、的外角．若，，求证：． 【应用】如图②，在等腰三角形ABC中，，，点D在边上，，点E、F在线段上，，若的面积为9，则与的面积之和为 ． 【变式训练1】（1）如图1，已知中，90°，，直线经过点直线，直线，垂足分别为点．求证：． 证明：（2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有．请写出三条线段的数量关系，并说明理由． 【变式训练2】（1）观察理解： 如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，点A，B在直线l同侧，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D，E，求证：△AEC≌△CDB． （2）理解应用： 如图2，过△ABC边AB、AC分别向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I．利用（1）中的结论证明：I是EG的中点． （3）类比探究： ①将图1中△AEC绕着点C旋转180°得到图3，则线段ED、EA和BD的关系_______； ②如图4，直角梯形ABCD中，，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，将腰DC绕D点逆时针旋转90°至DE，△AED的面积为 ． 【变式训练3】已知：中，，，D为直线BC上一动点，连接AD，在直线AC右侧作，且． (1)如图1，当点D在线段BC上时，过点E作于H，连接DE，求证：； (2)如图2，当点D在线段BC的延长线上时，连接BE交CA的延长线于点M． 求证：； (3)当点D在射线CB上时，连接BE交直线AC于M，若，则的值为______． 【变式训练4】【问题背景】（1）如图1，在中，，，，，垂足为E．求证：； 【变式运用】（2）如图2，在中，，，．求； 【拓展迁移】（3）如图3，在中，，，与交于点，，，直接写出的值． 课后训练 1．如图，为等边三角形，是边上一点，在上取一点，使，在边上取一点，使，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB，E、F分别是直线CD上两点，且． (1)若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上． ①如图1，若∠BCA＝90°，，则BE_________CF． ②如图2，若0°<∠BCA<180°，请添加一个关于与∠BCA关系的条件__________________，使①中的结论仍然成立，并说明理由； (2)如图3．若线CD经过∠BCA的外部，，请提出关于EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想，并简述理由 3．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是线段CA延长线上一点，且AD＝AB．点F是线段AB上一点，连接DF，以DF为斜边作等腰Rt△DFE．连接EA，且EA⊥AB． (1)若∠AEF＝20°，∠ADE＝50°，则∠ABC＝　 　°； (2)过D点作DG⊥AE，垂足为G． ①填空：△DEG≌△　 　； ②求证：AE＝AF+BC； (3)如图2，若点F是线段BA延长线上一点，其他条件不变，请写出线段AE，AF，BC之间的数量关系，并简要说明理由． 4．已知：等腰和等腰中，，，． (1)如图1，延长交于点，若，则的度数为 　　； (2)如图2，连接、，延长交于点，若，点为中点，求证：； (3)如图3，连接、，点是的中点，连接，交于点，，，则的面积为 　　． 5．如图ABD与AEC均为等腰直角三角形，AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°． （1）如图1，若反向延长ABC的高AM交DE于点N，过D作DH⊥MN．求证：DH＝AM，DN＝EN； （2）如图2，若AM为ABC的中线，反向延长AM交DE于点N，试探究AM与DE的数量关系，并说明理由； （3）由（1）（2）的探究我们发现 ．（填“＜”“＞”或“＝”号，无需证明） 6．如图1所示，已知AB为直线a上两点，点C为直线a上方一动点，连接AC、BC，分别以AC、BC为边向△ABC外作△ACD和△BCE，且，，，过点D作于点，过点E作于点． （1）【问题探究】小华同学想探究图1中线段、、AB之间的数量关系．他的方法是：作直线于点H，可以先证明和________，于是可得：________和________，所以得到线段、、AB之间的数量关系是________； （2）【方法应用】在图2中，当D、E两点分别在直线a的