专题02 截长补短模型-2022-2023学年七年级数学下册全等三角形的七大模型全攻略（北师大版，成都专用）

专题02 截长补短模型 基本模型： ①截长：在较长的线段上截取另外两条较短的线段。 如图所示，在BF上截取BM=DF，易证△BMC≌△DFC（SAS）. ②补短：选取两条较短线段中的一条进行延长，使得较短的两条线段共线并寻求解题突破。 如图所示，延长GC至N，使CN=DF，易证△CDF≌△BCN（SAS）， 例题精讲 例1．（截长型）在中，，如图①，当，为的平分线时，在上截取，连接DE，易证． (1)如图②，当，为的角平分线时，线段，，之间又有怎样的数量关系？不需要说明理由，请直接写出你的猜想. (2)如图③，当，为的外角平分线时，线段，，之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想进行说明. 例2．（补短型）【问题背景】 如图1：在四边形中，，，、分别是、上的点，且，小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，再证明，可得出结论　 　． 【探索延伸】如图2，若在四边形中，，、分别是，上的点，上述结论是否仍然成立 【学以致用】 如图3，四边形是边长为5的正方形，，求的周长． 例3．（截长补短综合）在等边三角形ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，P为△ABC外一点，且∠MPN＝60°，∠BPC＝120°，BP＝CP．探究：当点M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM，NC，MN之间的数量关系． (1)如图①，当点M、N在边AB、AC上，且PM＝PN时，试说明MN＝BM+CN． (2)如图②，当点M、N在边AB、AC上，且PM≠PN时，MN＝BM+CN还成立吗？ 答：　 　．（请在空格内填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”）． (3)如图③，当点M、N分别在边AB、CA的延长线上时，请直接写出BM，NC，MN之间的数量关系．   【变式训练1】（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点D作，垂足为点E，请直接写出线段、、之间的数量关系． 【变式训练1】如图，△ABC为等边三角形，直线l过点C，在l上位于C点右侧的点D满足∠BDC＝60° （1）如图1，在l上位于C点左侧取一点E，使∠AEC＝60°，求证：△AEC≌△CDB； （2）如图2，点F、G在直线l上，连AF，在l上方作∠AFH＝120°，且AF＝HF，∠HGF＝120°，求证：HG+BD＝CF； （3）在（2）的条件下，当A、B位于直线l两侧，其余条件不变时（如图3），线段HG、CF、BD的数量关系为 　 　． 【变式训练2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线，交BC于点D，过D作DE⊥BA于点E，点F在AC上，且BD＝DF． （1）求证：AC＝AE； （2）若AB＝7.4，AF＝1.4，求线段BE的长． 【变式训练3】如图，四边形中，， ，，M、N分别为AB、AD上的动点，且．求证： ． 课后训练 1．如图，为等边三角形，若，则__________（用含的式子表示）． 2．如图，已知中，，D为上一点，且，则的度数是_________． 3．如图，△ABC中，AB=AC，∠EAF=∠BAC，BF⊥AE   于E交AF于点F，连结 CF． （1）如图 1 所示，当∠EAF 在∠BAC 内部时，求证：EF＝BE+CF． （2）如图 2 所示，当∠EAF 的边 AE、AF 分别在∠BAC 外部、内部时，求证：CF＝BF+2BE． 4．在数学活动课上，数学老师出示了如下题目： 如图①，在四边形中，是边的中点，是的平分线，． 求证：． 小聪同学发现以下两种方法： 方法1：如图②，延长、交于点． 方法2：如图③，在上取一点，使，连接、． （1）请你任选一种方法写出这道题的完整的证明过程； （2）如图④，在四边形中，是的平分线，是边的中点，，，求证：． 5．如图1，在中，是直角，，、分别是、的平分线，、相交于点． 　　　　　 （1）求出的度数； （2）判断与之间的数量关系并说明理由．（提示：在上截取，连接．） （3）如图2，在△中，如果不是直角，而（1）中的其它条件不变，试判断线段、与之间的数量关系并说明理由． 6．如图1，在中，，平分，连接，，． （1）求的度数： （2）如图2，连接，交于，连接，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，点为的中点，连接交于点，若，求线段的长． 7．阅读与理解： 折纸，常