专题01 倍长中线模型-2022-2023学年七年级数学下册全等三角形的七大模型全攻略（北师大版，成都专用）

专题01 倍长中线模型 基本模型： （1）如图，在△ABC中，AD为△ABC的中线，延长AD至点E，使得DE＝AD，连接BE，则△ADC≌△EDB. （2）有三角形中线时，可过中点所在的边的两端点向中线作垂线，构造全等三角形，例： 如图，AF为△ABC的中线，作BD⊥AF交AF延长线于点D，作CE⊥AF于点E，则△BDN≌△CEN. 例题精讲 例1．（基本模型）如图，在中，是上一点，连接，已知，，是的中线．求证：．（提示：延长至，使，连接） 例2．（培优综合）（1）阅读理解：如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围，小聪同学是这样思考的：延长至，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围，在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是___________，中线的取值范围是___________； （2）问题解决：如图2，在中，点是的中点，．交于点，交于点．求证：； （3）问题拓展：如图3，在中，点是的中点，分别以为直角边向外作和，其中，，，连接，请你探索与的数量与位置关系，并直接写出与的关系． 例3．（分类讨论）在中，点为边中点，直线绕顶点旋转，直线于点．直线于点，连接，． （1）如图1，若点，在直线的异侧，延长交于点．求证：． （2）若直线绕点旋转到图2的位置时，点，在直线的同侧，其它条件不变，此时，，，求的长度． （3）若过点作直线于点．试探究线段、和的关系． 【变式训练1】如图，在中，，是的中线，点D在的延长线上，连接，平分． (1)求证：； (2)求证：． 【变式训练2】某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入． 【探究与发现】 如图1，延长△ABC的边BC到D，使DC＝BC，过D作DE∥AB交AC延长线于点E，求证：△ABC≌△EDC． 【理解与应用】 如图2，已知在△ABC中，点E在边BC上且∠CAE＝∠B，点E是CD的中点，若AD平分∠BAE． （1）求证：AC＝BD； （2）若BD＝3，AD＝5，AE＝x，求x的取值范围． 【变式训练3】如图1，在中，是边的中线，交延长线于点，． （1）求证； （2）如图2，平分交于点，交于点，若，，求的值． 【变式训练4】（1）如图1，△ABC中，AD为中线，求证：AB+AC＞2AD； （2）如图2，△ABC中，D为BC的中点，DE⊥DF交AB、AC于E、F．求证：BE+CF＞EF． 课后训练 1．如图，在中，为边的中线，E为上一点，连接并延长交于点F，若，，，则的长为____________． 2．在△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC内一点，点E是CD的中点，连接AE，作EF⊥AE，若点F在BD的垂直平分线上，∠BAC＝α，则∠BFD＝_________．（用α含的式子表示） 3．在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线． （1）如图1，是的中线，求的取值范围．我们可以延长到点，使，连接，易证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是 ； （2）如图2，是的中线，点在边上，交于点且，求证：； （3）如图3，在四边形中，，点是的中点，连接，且，试猜想线段之间满足的数量关系，并予以证明． 4．已知，在中，，点为边的中点，分别交，于点，． （1）如图1，①若，请直接写出______； ②连接，若，求证：； （2）如图2，连接，若，试探究线段和之间的数量关系，并说明理由． 5．如图，在中，,,分别为,边上的高，连接,过点作与点，为中点，连接，． （1）如图，若点与点重合，求证：； （2）如图，请写出与之间的关系并证明． 6．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在CB上，连接AD，EA⊥AD，∠ACE=∠ABD． （1）求证：AD=AE； （2）若点F为CD中点，AF交BE于点G，求∠AGE的度数． 7．【观察发现】如图①，△ABC中，AB＝7，AC＝5，点D为BC的中点，求AD的取值范围． 小明的解法如下：延长AD到点E，使DE＝AD，连接CE． 在△ABD与△ECD中 ∴△ABD≅△ECD（SAS） ∴AB＝　 　． 又∵在△AEC中EC﹣AC＜AE＜EC+AC，而AB＝EC＝7，AC＝5， ∴　 　＜AE＜　 　． 又∵AE＝2AD． ∴　 　＜AD＜　 　． 【探索应用】如图②，ABCD，AB＝25，CD＝8，点E为BC的中点，∠DFE＝∠BAE，求DF的长为 　 　．（直接写答案） 【应用拓展】如图③，∠BAC＝60°，∠CDE＝120°，AB＝AC，DC＝DE，连接BE，P为BE的中点，求证：AP⊥DP． 8．已知中， （1）如图1，点E为的中点，连并延长到点F，使，则与的数量关系是________． （