5.2.1 基本初等函数的导数-【数学一起课件】高中数学选择性必修第二册同步PPT课件（人教A版2019）

基本初等函数的导数 授课人 XXX 第五章 一元函数的导数及其应用 1 学习目标 能根据定义求函数 的导数. 会使用导数公式表. 核心素养 数学抽象 基本初等函数的导数公式. 逻辑推理 基本初等函数的导数公式的推导过程. 数学运算 使用导数公式表求一些函数的导数. 课程导入 问题1 函数在处的导数几何意义是什么？ 曲线在点切线的斜率. 课程导入 问题2 求函数在处的导数（瞬时变化率）的步骤是什么？ 第一步，写出函数的平均变化率 并化简； 第二步，求极限 ，若存在，则导数 . 课程导入 由导函数的定义可知，一个函数的导数是唯一确定的. 在必修第一册中我们学过基本初等函数，并且知道，很多复杂的函数都是通过对这些函数进行加、减、乘、除等运算得到的. 求出基本初等函数的导数 研究出导数的“运算法则” 求出复杂函数的导数 1 2 根据导数的定义，求函数的导数，就是求出当时， 无限近的那个定值. 下面我们求几个常用函数的导数. 常用函数的导数 01 问题探究 问题3 如何求函数 的导数？ ∵ ∴ 常数函数的导数为0. 问题探究 问题4 若 表示路程关于时间的函数，则的物理意义是什么？ 若 表示路程关于时间的函数， 则可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态. 问题探究 问题5 常数函数 的导数的几何意义是什么？ 常数函数的导数为0， 其几何意义为函数的图象在任意点处的切线均垂直于轴，斜率为0. 问题探究 问题6 如何求函数 的导数？ ∵ ∴ 问题探究 问题7 若 表示路程关于时间的函数，则的物理意义是什么？ 若 表示路程关于时间的函数， 则可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速直线运动. 问题探究 问题8 一次函数 的导数的几何意义是什么？ 一次函数的导数为1， 其几何意义为函数图象在任意点处的斜率为1. 问题探究 问题9 如何求函数 的导数？ ∵ ∴ 问题探究 问题10 函数的导数的几何意义是什么？ 表示函数 的图象上点处切线的斜率为，说明随着的变化，切线的斜率也在变化. 另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明： 当时，随着的增加，越来越小，减少得越来越慢； 当时，随着的增加，越来越大，增加得越来越快. 问题探究 问题11 若表示路程关于时间的函数，则的物理意义是什么？ 若 表示路程关于时间的函数， 则 可以解释为某物体做变速运动，它在时刻 的瞬时速度为. 问题探究 问题12 如何求函数 的导数？ ∵ ∴ 问题探究 问题13 函数的导数的几何意义是什么？ 表示函数 的图象上点处切线的斜率为，说明随着的变化，切线的斜率也在变化，且恒为非负数. 问题探究 问题14 你能用导数解释函数的变化情况吗？ 由于，且越大，越大，所以 当时，随着的增加，函数增加得越来越快； 当时，随着的增加，函数增加得越来越慢. 问题探究 问题15 如何求函数 的导数？ ∵ ∴ 问题探究 问题16 反比例函数 的导数的几何意义是什么？ 反比例函数 的导数为 ， 其几何意义为函数 图象上点处切线的斜率为. 问题探究 问题17 画出函数 的图象. 根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点处的切线方程. 函数 的图象如右图所示. 函数 的导数为. 结合函数 的图象可以发现： 当时，随着的增加，减少得越来越快； 当时，随着的增加，减少得越来越慢. 问题探究 问题17 画出函数 的图象. 根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点处的切线方程. 函数 在点处的切线的斜率就是导数 在处的函数值， 即切线的斜率为， 故曲线在点处的切线方程为 即 . 问题探究 问题18 如何求函数 的导数？ ∵ ∴ 问题探究 问题19 画出函数 的图象. 根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点处的切线方程. 函数 的图象如右图所示. 函数 的导数为. 结合函数的图象可以发现： 随着的增加， 增加得越来越慢. 问题探究 问题19 画出函数 的图象. 根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点处的切线方程. 函数 在点处的切线的斜率为 故切线方程为 即 . 基本初等函数的导数 02 问题探究 问题20 前面我们根据导数的定义求出了一些常用函数的导数，由此你能发现它们的导数与函数之间有什么关系吗？ 基本初等函数的导数 基本初等函数的导数公式 若 ，则； 1 2 若 ，则； 3 若，则； 4 若，则； 5 若，则； 特别地，若，则； 6 若，则； 特别地，若，则. 基本初等函数的导数 基本初等函数的导数公式 若 ，则； 1 2 若 ，则； 3 若，则； 4 若，则； 5 若，则； 特别地，若，则； 6 若，则； 特别地，若，则. 常数函数 幂函数 三角函数 指数函数 对数函数 例题解析 例