2.1从位移、速度、力到向量（讲+练）-【高分突破系列】2022-2023学年高一数学同步讲练测（北师大版2019必修第二册）

2.1从位移、速度、力到向量 目 录 速 览 第一部分：考点梳理知识方法技巧总结 第二部分：必会技能常考题型及思想方法 第三部分：配套必刷好题 必会题型一：位移、速度、力与向量的概念 必会题型二：相等向量与共线向量 必会题型三：向量的基本关系 第一部分：考点梳理知识方法技巧总结 必会知识一 向量的实际背景——位移、速度和力 物理中，质点由到的位移表示从起点到终点相对位置的变化，与具体的路线无关(如图2-1-1)，既有大小又有方向；速度是表示物体运动快慢的量，既有大小又有方向；力也是这样．这样的量在物理学中称为矢量． 必会知识二 向量的概念与表示 1．向量的概念 既有大小又有方向的量统称为向量． 那些只有大小没有方向的量称为数量，如年龄、长度、体重、面积、体积等． 【名师点睛】向量不同于数量，向量不仅有大小，而且有方向，大小是代数特征，方向是几何特征．因为方向没有大小之分，所以向量不能比较大小．数量只有大小，可以比较大小，“大于”“小于”是对数量来说的． 2．向量的表示 (1)几何表示 ①有向线段：在数学中，具有方向和长度的线段称为有向线段．如图2-1-2，以为起点，为终点的有向线段，记作．线段的长度称为有向线段的长度，记作． ②有向线段表示向量：向量可以用有向线段表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向． (2)字母表示 ①向量可以用表示有向线段的起点和终点的字母表示，但要注意起点一定要写在终点的前面，如图2-1-2的向量，可表示为向量． ②向量也可以用小写字母来表示，但要注意手写体与印刷体不同，印刷时用黑斜体小写字母来表示，书写时用来表示． 【名师点睛】(1)有向线段是以为起点，为终点，方向是由点指向点，而有向线段是以为起点，为终点，方向由点指向点，所以说有向线段与有向线段是两个大小相等、方向相反的有向线段． (2)有向线段和向量的区别与联系．区别：从定义上看，向量只有大小和方向两个要素，而有向线段有起点、方向、终点三个要素，因此这是两个不同的量．联系：向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段． 3．向量的模 向量的大小(向量的长度)叫作向量的模，记作．另外，向量的模记作． 【名师点睛】(1)任意向量的模都是非负实数，即． (2)向量不能比较大小，但是实数(正数或0)，所以向量的模可以比较大小． 必会知识三 两个特殊的向量 1．零向量 长度为0的向量称为零向量，记作或0，任何方向都可以作为零向量的方向． 【名师点睛】(1)零向量是有方向的，其方向是任意的． (2)若用有向线段表示零向量，则其终点与起点重合． (3)要注意0与0的区别与联系：0是一个实数，0是一个向量，有． (4)在今后的学习中，要注意零向量的特殊性，解决问题时，一定要看清题目中向量的条件是“任意向量”还是“任意非零向量”． 2．单位向量 模等于1个单位长度的向量称为单位向量． 【名师点睛】(1)单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同． (2)画单位向量时，模为1个单位长度可以根据需要任意设定． 必会知识四 相等向量 相等向量是指它们的长度相等且方向相同．向量与相等，记作．若两条有向线段方向相同、长度相等，则它们表示的向量是相等的． 【名师点睛】(1)只有当两个向量的模相等，方向也相同时，才能称它们相等．如就意味着，且向量与的方向相同． (2)两个向量是否相等，只与它们的大小和方向有关，而与起点、终点的位置无关． (3)由向量相等的定义可知，对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，是可以平行移动的．因此，用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点． (4)任意两个相等的非零向量都可以用同一条有向线段来表示，与有向线段的起点无关． 必会知识五 共线向量 1．共线(平行)向量 若两个非零向量的方向相同或相反[如图2-1-3(1)(2)]，则称这两个向量为共线向量或平行向量，也称这两个向量共线或平行，记作． 【名师点睛】(1)两个向量共线或平行，是指表示这两个向量的有向线段所在的直线重合或平行． (2)向量都是可以自由移动的，所有平行的向量都可以移到同一条直线上，因此平行向量也称为共线向量． (3)由两条直线平行可得两个向量平行．如若，则．但反之不成立，若，则或四点共线(如图21-4)． (4)实际上，共线向量有以下四种情况：方向相同且模相等；方向相同且模不等；方向相反且模相等；方向相反且模不等．故共线向量与相等向量的关系如下：共线向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共线向量． 2．相反向量 若两个向量的长度相等、方向相反，则称它们互为相反向量．相反向量是共线向量．若其中一个向量为，则它的相反向量记作． 规定零向量与任一向量共线，即对于任意的向量，都有．零向量的相反向量仍是零向量． 【名师点睛】(1)