7.4.1 二项分布 -【帮课堂】2022-2023学年高二数学同步精品讲义（人教A版2019选择性必修第三册）

7.4.1 二项分布 课程标准 课标解读 1. 理解相互独立事件的概念，理解独立重 复试验的概念，理解二项分布的概率模型. 2. 理解相互独立事件的概率模型.伯努利 试验的特点. 3. 掌握二项分布的特点，会求二项分布 列，期望与方差. 通过本节课的学习，要求会求二项分布列及应用分布列公式的特点求解相关量及参数，会求二项分布列的期望与方差. 知识点1 n重伯努利试验及其特征 1．n重伯努利试验的概念 将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． 2．n重伯努利试验的共同特征 (1)同一个伯努利试验重复做n次． (2)各次试验的结果相互独立． (3)每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生，这两种结果是对立的 注：1、在相同条件下，有放回地抽样试验是n重伯努利试验. 2、相互独立的概念 (1)相互独立的定义 设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)·P(B)，则称事件A与事件B相互独立． (2)相互独立事件 事件A(或B)发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件． 3、相互独立的性质 若事件A与B相互独立，则A与，与B，与也相互独立． 4、相互独立事件与互斥事件的区别 相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为P(AB)＝P(A)P(B)，互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． 4.利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路 (1)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥简单事件的和． (2)将彼此互斥简单事件中的简单事件，转化为几个已知(易求)概率的相互独立事件的积事件． (3)代入概率的积公式求解． 3．重伯努利试验的概率公式 一般地，如果在一次试验中事件发生的概率是,事件在次试验中发生次，共有种情形，由试验的独立性知，每种情形下，在次试验中发生，而在其余次试验中不发生的概率都是,所以由概率加法公式知，在重伯努利试验中，事件恰好发生次的概率为( ) . 【即学即练1】判断下列试验是不是n重伯努利试验： (1)依次投掷四枚质地不同的硬币，3次正面向上； (2)某人射击，击中目标的概率是稳定的，他连续射击了10次，其中6次击中； (3)口袋中装有5个白球，3个红球，2个黑球，依次从中抽取5个球，恰好抽出4个白球． 【即学即练2】甲、乙两队进行排球比赛，已知在一局比赛中甲队胜的概率为，没有平局． (1)若进行三局两胜制比赛，先胜两局者胜，甲获胜的概率是多少？ (2)若进行五局三胜制比赛，甲获胜的概率为多少？ 知识点2　二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为 P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n. 称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)． 注：1、：伯努利试验的次数 ： 事件发生的次数 ：每次试验中事件发生的概率 2、独立重复试验与二项分布问题的类型及解题策略 (1)在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率． (2)在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，求得概率． 3．判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有二：其一是独立性，即一次试验中，事件发生与不发生二者必居其一；其二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次． 4．P(A·B)＝P(A)·P(B)只有在事件A，B相互独立时，公式才成立，此时P(B)＝P(B|A)． 【即学即练3】一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是. (1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的均值； (2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列； (3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率． 知识点3　二项分布的均值与方差 若随机变量X服从参数为n，p的二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p) 注：(1)如果ξ ～B(n，p)，则用公式E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量． (2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b以及E(ξ)＝np求出E(aξ＋b)，同样还可求出D(aξ＋b)． 【即学即练4】某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心．且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数X的分布列，并求E(X)． 考点一 重伯努利试验的判断 解题方略： n