课后提升练(二十一) 平面与平面垂直（Word练习）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第四册（人教版B版2019）

课后提升练(二十一)　平面与平面垂直 [对应学生用书P157] 1．设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，下列命题正确的是(　　) A．若l⊥β，则α⊥β B．若α⊥β，则l⊥m C．若l∥β，则α∥β D．若α∥β，则l∥m 答案：A 2．设平面α⊥平面β，在平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则(　　) A．直线a必垂直于平面β B．直线b必垂直于平面α C．直线a不一定垂直于平面β D．过a的平面与过b的平面垂直 C　解析：当b＝α∩β时，必有a⊥β，当b不是α与β的交线时，直线a不一定垂直于平面β. 3．已知三棱锥D­ABC的三个侧面与底面全等，且AB＝AC＝，BC＝2，则以BC为棱，以平面BCD与平面BCA为面的二面角的余弦值为(　　) A．　　　　　B．　　　　C．0　　　　D．－ C　解析：由题可知AB＝AC＝BD＝DC＝，AD＝BC＝2，取BC的中点E，连接AE，DE，则DE⊥BC，AE⊥BC，∴∠AED为二面角A­BC­D的平面角，在△DAE中，AD＝2，AE＝DE＝＝，由于AE2＋DE2＝2＋2＝4＝AD2，∴∠AED＝90°，其余弦值为0. 4．如图，在斜三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在平面ABC上的射影H必在(　　) A．直线AB上 B．直线BC上 C．直线AC上 D．△ABC的内部 A　解析：因为BC1⊥AC，AB⊥AC，BC1∩AB＝B， 所以AC⊥平面ABC1， 又AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABC1. 又平面ABC∩平面ABC1＝AB， 所以过点C1再作C1H⊥平面ABC，则H∈AB， 即点C1在平面ABC上的射影H在直线AB上． 5．(多选题)如图，在四棱锥P­ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法中正确的是(　　) A．平面PAB⊥平面PAD B．平面PAD⊥平面PDC C．AB⊥PD D．平面PAD⊥平面PBC ABC　解析：∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD， 又四边形ABCD为矩形，∴AB⊥AD， ∴AB⊥平面PAD，又AB⊂平面PAB， ∴平面PAB⊥平面PAD， ∴AB⊥PD，故A，C正确； 同理可证：平面PAD⊥平面PDC，故B正确；D显然不正确． 6．正四面体的侧面与底面所成的二面角的余弦值是________． 　解析：如图所示，设正四面体ABCD的棱长为1，顶点A在底面BCD上的射影为O，连接DO并延长交BC于点E，连接AE，则E为BC的中点，故AE⊥BC，DE⊥BC， ∴∠AEO为侧面ABC与底面BCD所成二面角的平面角． 在Rt△AEO中，AE＝，EO＝ED＝×＝， ∴cos ∠AEO＝＝. 7．已知直二面角α­l­β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD＝________． 　解析：过D点作DE綉AC，则CD＝AE，连接AE，BE， ∵AC⊥l，∴DE⊥l，又BD⊥l， ∴∠BDE为α－l－β的二面角的平面角， ∴∠BDE＝90°，∴BE＝＝， 又AE∥l，∴AE⊥平面BDE，∴AE⊥BE， ∴AE＝ ＝.∴CD＝. 8．如图P是边长为2的正方形ABCD外一点，PA⊥AB，PA⊥BC，且PC＝5，则直线BD与平面PAC的位置关系为________，二面角P­BD­A的余弦值为________． 垂直　　解析：∵PA⊥AB，PA⊥BC，AB∩BC＝B，∴PA⊥平面ABCD，又BD⊂平面ABCD， ∴PA⊥BD，又四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC， AC∩PA＝A，AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC.∴BD⊥平面PAC. 连接AC，设AC∩BD＝O，连接PO， 则BD⊥PO，BD⊥AO. ∴∠POA为二面角P­BD­A的平面角， 又AB＝2，∴AC＝4，∴AO＝2. ∴PO＝＝＝， ∴cos ∠POA＝＝. 9．如图，将矩形ABCD沿对角线BD把△ABD折起使A点移到A1点，且在平面BCD上的射影O恰好在CD上．求证：BC⊥A1D. 证明：∵A1在平面BCD上的射影O恰好在CD上， ∴A1O⊥平面BCD，又A1O⊂平面A1CD， ∴平面A1CD⊥平面BCD， 又四边形ABCD为矩形，∴BC⊥CD， ∵平面A1CD∩平面BCD＝CD，BC⊂平面BCD， ∴BC⊥平面A1CD，而A1D⊂平面A1CD，∴BC⊥A1D. 10．如图，已知AB，CD分别是圆柱体上底面和下底面的直径，且CD∥AB，E为圆柱下底面内的一个动点(不与C，D重合)，若该圆柱的高与底面圆的直径长度均为2. (1)求证：平面BCE⊥平面ADE； (2)求三棱锥A­BCE体积的最大值． (1)