专题02 实数-2022-2023学年七年级数学下学期期中期末复习考点全归纳及过关测试（人教版）

专题02 实数 一、【知识回顾】 【思维导图】 【平方根、算术平方根、立方根知识清单】 1.平方根 （1）平方根的定义：若，那么x叫做a的平方根． （2）开平方的定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方． 开平方运算的被开方数必须是非负数（开方数≥0）才有意义。 （3）平方与开平方互为逆运算：3的平方等于9，9的平方根是3 （4）一个正数有两个平方根，且两个平方根互为相反数； 一个负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算； 0的平方根是0. （5）符号：a（a≥0）的正的平方根可用表示，也是a的算术平方根； a（a≥0）的负的平方根可用-表示． （6） <—> a是x的平方 x的平方是a x是a的平方根 a的平方根是x 2.算术平方根 （1）算术平方根的定义： 若，且x＞0，那么正数x叫做a的算术平方根；记为。 规定：0的算术平方根是0. （2）的结果有两种情况：当a是完全平方数时，是一个有理数； 当a不是一个完全平方数时，是一个无理数。 （3）当被开方数扩大时，它的算术平方根也扩大； 当被开方数缩小时，它的算术平方根也缩小。 （4）夹值法及估计一个（无理）数的大小 （5） (x≥0) <—> a是x的平方 x的平方是a x是a的算术平方根 a的算术平方根是x （6）平方根和算术平方根两者既有区别又有联系： 区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个； 联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根，而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。 3. 立方根 （1）立方根的定义：若，那么叫做的立方根。求一个数的立方根的运算，叫做开立方。 （2）一个数的立方根，记作，读作：“三次根号”， 其中叫被开方数，3叫根指数，不能省略，若省略表示平方。 （3） 一个正数有一个正的立方根； 0有一个立方根，是它本身； 一个负数有一个负的立方根； 任何数都有唯一的立方根。 （4） <—> a是x的立方 x的立方是a x是a的立方根 a的立方根是x （5），这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 【实数知识清单】 1.实数的概念及分类 （1）实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数或无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 正实数 实数 0 负实数 整数包括正整数、零、负整数。 零和正整数又叫自然数。 正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。 （2）无理数归类 ①开方开不尽的数，如等； ②有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等； ③有特定结构的数，如0.1010010001…等； （3）实数与数轴上点的关系： 每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来， 数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数， 实数与数轴上的点就是一一对应的 （4）实数大小的比较常用方法： ①数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 ②求差比较：设a、b是实数， ③求商比较法：设a、b是两正实数， ④绝对值比较法：设a、b是两负实数，则。 ⑥平方法：设a、b是两负实数，则。 （5）实数的运算 运算定律 ①加法交换律 ②加法结合律 ③乘法交换律 ④乘法结合律 ⑤乘法分配律 实数混合运算时，对于运算顺序有什么规定？ 实数混合运算时，将运算分为三级，加减为一级运算，乘除为二级运算，乘方为三级运算。同级运算时，从左到右依次进行；不是同级的混合运算，先算乘方，再算乘除，而后才算加减；运算中如有括号时，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序进行。 二、【考点类型】 考点1：平方根、算数平方根、立方根 典例1：（2022春·宁夏吴忠·七年级校考期末）已知2a﹣1的平方根为±3，3a+b﹣1的算术平方根为4，求a+2b的平方根． 【答案】±3 【分析】先根据2a﹣1的平方根为±3，3a+b﹣1的算术平方根为4求出ab的值，再求出a+2b的值，由平方根的定义进行解答即可． 【详解】解：∵2a﹣1的平方根为±3， ∴2a﹣1＝9，解得，2a＝10， a＝5； ∵3a+b﹣1的算术平方根为4， ∴3a+b﹣1＝16，即15+b﹣1＝16， 解得b＝2， ∴a+2b＝5+4＝9， ∴a+2