重难突破02 实数之计算通关问题-2022-2023学年七年级数学下学期期中期末复习考点全归纳及过关测试（人教版）

重难突破02 实数之计算通关问题 一、【知识回顾】 【思维导图】 【运算法则】 运算定律 ①加法交换律 ②加法结合律 ③乘法交换律 ④乘法结合律 ⑤乘法分配律 实数混合运算时，对于运算顺序有什么规定？ 实数混合运算时，将运算分为三级，加减为一级运算，乘除为二级运算，乘方为三级运算。同级运算时，从左到右依次进行；不是同级的混合运算，先算乘方，再算乘除，而后才算加减；运算中如有括号时，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序进行。 二、【考点类型】 考点1：实数运算 典例1：（2023春·江苏泰州·八年级姜堰区实验初中校考周测）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)4.9 (2) 【分析】（1）先开方，再求和 （2）任何数的零次方都是1，再开方，再求和 【详解】（1） （2） 【点睛】本题考查实数的混合运算，掌握计算方法和计算法则是本题关键． 【变式1】（2023春·重庆九龙坡·七年级重庆市育才中学校考阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据算术平方根的定义，乘方运算，立方根的定义进行计算即可； （2）根据算术平方根的定义，乘方运算，绝对值的意义进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，解题的关键是熟练掌握实数混合运算法则，准确计算． 【变式2】（2023春·重庆九龙坡·七年级重庆实验外国语学校校考开学考试）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可； （2）根据有理数乘法运算，二次根式性质，立方根的定义，绝对值的意义进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数混合运算和实数混合运算，解题关键是熟练掌握有理数乘法运算法则，二次根式性质，立方根的定义，绝对值的意义，准确计算． 【变式3】（2023秋·四川眉山·八年级统考期末）计算： 【答案】 【分析】根据算术平方根的定义，绝对值的意义，有理数乘方运算，立方根的定义进行计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握算术平方根的定义，绝对值的意义，有理数乘方运算，立方根的定义，准确计算． 考点2：实数新定义运算 典例2：（2022春·安徽亳州·七年级统考阶段练习）对于任意两个不相等的实数，，定义一种新的运算如下：，如，求： (1)的值； (2)的值. 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）根据题目给出的信息列式计算即可； （2）根据题目给出的信息列式计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了新定义运算，解题的关键是读懂题意，列出算式，准确计算 【变式1】（2023春·全国·七年级专题练习）定义一种新运算：对于任意实数a，b，都有．例如，求的值 【答案】 【分析】根据实数的新定义的运算公式，即可得出结果． 【详解】解：依题意可知： 原式 【点睛】本题考查了实数的新定义运算问题，解本题的关键在理解新定义运算． 【变式2】（2023春·全国·七年级专题练习）定义新运算：对于任意实数a，b，都有，例如． （1）求的值． （2）求的平方根． 【答案】（1）21；（2）±4 【分析】（1）根据定义新运算即可求的值； （2）根据定义新运算求的值，再计算平方根即可得出答案． 【详解】（1）由定义新运算得：； （2）由定义新运算得：， ∴的平方根为． 【点睛】本题考查新定义的有理数运算，掌握新定义的运算法则是解题的关键． 【变式3】（2022秋·浙江宁波·七年级校考期中），即，的整数部分为，小数部分为．请你观察上述式子的规律后解决下面问题． （1）规定用符号表示实数的整数部分，例如：，，填空：______；______； （2）如果的小数部分为，的小数部分为，求的值． 【答案】（1）5，1；（2）1 【分析】（1）根据已知的新定义确定出所求即可； （2）根据题意确定出a与b的值，代入原式计算即可得到结果． 【详解】解：（1））；． 故答案为5、1； （2）根据题意，得 ， ， ． ， ． 【点睛】此题考查了估算无理数的大小，弄清题中的新规定是解本题的关键． 考点3：实数运算的运用问题 典例3：（2022春·江西上饶·七年级统考期末）如图，将长方形分成四个区域，其中A，B两正方形区域的面积分别是3和9. (1)A，B两正方形的边长各是多少？ (2)求图中阴影部分的面积（结果保留两位小数.参考数据：）. 【答案】(1)正方形A和正方形B的边长各是，3 (2)2.20 【分析】（1）根据正方形面积等于边长的平方求解即可； （2）根据阴