专题17 旋转体的表面积和体积-2022-2023学年高一数学下学期期中期末考点题型精准复习（人教A版2019必修第二册）

专题17 旋转体的表面积和体积 1．旋转体的侧面积和表面积 几何体 圆柱 圆锥 圆台 球 侧面展开图 侧面积公式 表面积公式 2．旋转体的体积 几何体 体积 圆柱 (S为底面面积，h为高) 圆锥 (S为底面面积，h为高)， 圆台 (S′、S分别为上、下底面面积，h为高)， 球 (为球的半径) 考点一 旋转体的侧面积及表面积 考点二 旋转体的体积 考点三 组合体的表面积及体积 考点一 旋转体的侧面积及表面积 例1．（2023春·四川成都·高三校联考期末）已知圆锥的母线长为3，若轴截面为等腰直角三角形，则圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得圆锥的底面半径，进而求得圆锥的表面积. 【详解】依题意，圆锥的母线长为3，轴截面为等腰直角三角形， 所以圆锥的底面半径为， 所以圆锥的表面积为. 故选：B 练习1．（2023·全国·高一专题练习）边长为2的正方形绕旋转形成一个圆柱，则该圆柱的表面积为___________. 【答案】 【分析】圆柱的底面半径，母线长，代入公式求值即可. 【详解】该圆柱的底面半径，母线长， 所以该圆柱体的表面积为. 故答案为：. 练习2．（2023春·福建三明·高一三明一中校考阶段练习）如图是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧、所在圆的半径分别是3和9，且，则该圆台的高为______；侧面积为______. 【答案】          【分析】利用圆台的性质、扇形的弧长公式、勾股定理以及扇环的面积公式进行求解. 【详解】 因为两个圆弧、所在圆的半径分别是3和9，且， 所以的长为，即圆台上底面的周长为，设上底面半径为， 则，解得， 同理可得，的长为，即圆台下底面的周长为，设下底面半径为， 则，解得， 又因为圆台母线长，如图，圆台的高为， 所以圆台的高为，侧面积为. 故答案为：，. 练习3．（2023·全国·高三专题练习）用一个圆心角为120°，半径为9cm的扇形围成一个圆锥侧面，则圆锥的高是______cm． 【答案】 【分析】根据圆锥的底面圆的周长等于扇形的弧长求得半径，进一步根据勾股定理求得高. 【详解】设圆锥的底面圆的半径为, 根据题意得, 解得. 所以圆锥的高为. 故答案为：. 练习4．（2023春·湖南株洲·高二株洲二中校考阶段练习）已知一个圆锥底面积为，体积为，则该圆锥侧面积为__________． 【答案】 【分析】设该圆锥的底面圆半径为高为根据面积和体积可求出，继而算出母线长，即可求出答案 【详解】设该圆锥的底面圆半径为高为 由底面积为，体积为可得，解得， 所以圆锥母线长为， 所以该圆锥侧面积为 故答案为： 练习5．（2023·高一课前预习）如图，四边形是圆柱的轴截面，是圆柱的一条母线，已知，，，求该圆柱的侧面积___________；表面积______________. 【答案】          【分析】由已知求圆柱的底面半径，根据圆柱的侧面积公式和表面积公式求解. 【详解】因为四边形是圆柱的轴截面， 所以为底面圆的直径， 又点为底面圆上异于点的点， 所以， 因为，， 所以，即底面圆的半径， 因为，所以圆柱的母线长， 所以圆柱的侧面积，设圆柱的表面积为， 则． 故答案为：；. 考点二 旋转体的体积 例1．（2023·全国·模拟预测）已知一个圆台内部的球与圆台的上、下底面以及每条母线均相切，设球与圆台的表面积分别为，，体积分别为，，若，则______． 【答案】 【分析】找到球半径与圆台上、下底面半径之间的关系，用，表示出圆台和球的表面积， 由条件求出，之间的关系，结合球的体积公式求. 【详解】第一步：找到球半径与圆台上、下底面半径之间的关系 设圆台的母线长为，高为，上、下底面圆心分别为，，半径分别为，，球的球心为，半径为，作出该组合体的轴截面如图所示，连接，易知点为的中点，则．设为球与圆台侧面的一个切点，连接，根据切线长定理可得，（切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等） 所以（勾股定理的应用）所以， 第二步：用，表示出圆台和球的表面积 则，，（圆台的表面积公式） 第三步：根据得到，之间的关系 故， 第四步：求出 所以． 故答案为：. 练习1.（2021春·河北·高三统考学业考试）若某圆柱的侧面展开图是一个边长为的正方形，则该圆柱的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆柱的侧面展开图确定圆柱的底面半径和高，即可求出其体积． 【详解】设圆柱的底面半径为，高为， 因为圆柱的侧面展开图是一个边长为的正方形， 所以，，即，， 所以该圆柱的体积为． 故选：C． 练习2．（2