4.3.2独立性检验-【高效课堂】2022-2023学年高二数学同步精讲课件（人教B版2019选择性必修第二册）

4.3.2独立性检验 我们已经知道，事件A与B独立的充要条件是 P(AB)=P(A)P(B). 利用这一点，我们可以通过概率的计算来判断两个事件是否独立， 然而，如果要判断现实生活中两个随机事件是否独立，并不是一件容 易的事. 思考：任意抽取某市的一名学生，记A:喜欢长跑，B:是女生 (1)你能得出P(A),P(B),P(AB)这三者的准确值吗？ (2)如果要判断A与B是否独立，该怎么办？ 类似情境与问题中P(A),P(B),P(AB)准确值的确定， 都是比较难 的，甚至是不可能的 然而，因为可以利用频率估计概率，所以通过抽样调查获得样本数 据后，我们就可以得到上述三个值的近似值 例如，假设通过调查， 我们获取了下述数据： 抽查了110个人，其中女生有50人；且这110人中，喜欢长跑的有 60人，其中女生有20人. 首先，为了方便起见，我们可以把这些数据整理成如下的表格形式 喜欢长跑 不喜欢长跑总计 女 20 30 50 男 40 20 60 总计 60 50 110 因为这个表格中，核心的数据是中间的4个格子，所以这样的表格 通常称为2×2列联表， 喜欢长跑 不喜欢长跑总计 女 20 30 50 男 40 20 60 总计 60 50 110 由2×2列联表可知： 60 6 喜欢长跑的概率P(A)可以估计为 110 11 50 5 是女生的概率P(B)可以估计为 110 11 20 2 喜欢长跑且是女生的概率P(AB)可以估计为 110 此时，可以利用P(AB)=P(A)P(B)是否成立来判断A与B是否独立吗？ 因为P(A),P(B),P(AB)都是根据样本数据得到的估计值， 而估计是有误差的，因此直接用P(AB)=P(A)P(B)是否成立来判 断A与B是否独立是不合理的. 但是，如果A与B独立，那么P(A)P(B)应该可以作为P(AB)的 近似值. 因此理论上可知，喜欢长跑的女生数可以估计为110P(A)P(B), 注意到实际数为20（即110P(AB)),因此 [110P(AB)-110P(A)P(B)]2 110P(A)P(B) 应该不会太大， 类似地，考虑A与B，A与B，A与B，可知 [10P(AB)-110P(A)P(B)] 110P(A)P(B) 10P(4B)-110P(A)P(B 110P(A)P(B) 10P(AB)-110P(A)P(BL 若记上述四项的和为χ^°（读作“卡方”），则代入有关数据 可以算得χ^=7.8. 不过，概率学上可以证明，如果A与B独立，则X2≥6.635的 概率只有1%，即P(x≥6.635)=1% 因为算出的X值7.8大于6.635，所以若A与B独立（即“喜 欢长跑”与“是女生”独立)，那么我们就观察到了一件概率 不超过1%的事件. 这也可以说成，在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以 认为“喜欢长跑”与“是女生”不独立（也称为是否喜欢长跑与 性别有关)；或说有99%的把握认为是否喜欢长跑与性别有关 上述1%通常称为显著性水平，而6.635称为显著性水平1% 所对应的分位数. 一般情况下，可以用完全类似的方法来检验两个随机事件 是否独立， 如果随机事件A与B的样本数据的2×2列联表如下. A A 总计 B b a+b B d c+d 总计 a+c b+d a+b+c+d 记n=a+b+c+d,则由表可知： (1)事件A发生的概率可估计为P()=+ (2)事件B发生的概率可估计为P(B)= (3)事件AB发生的概率可估计为 P(AB)= n 如果A与B独立，那么上述P(AB)与P(A)P(B)的估计值 相差不会太大，注意到总数为，因此利用后者可以估计出，理论上 既是A又是B的数据有nP(A)P(B)个，注意到实际的数据为a (即nP(AB))个，因此 InP(AB)-nP(A)P(B) [na-n(a+c)(a+b) 不会太大 nP(A)P(B) n(a+c)(a+b) 类似地，考虑A与B，A与B,A与B,可知 [nb-n(b+d)(a+b)[nc-n(a+c)(c+d)][nd-n(b+d)(c+d)] n(b+d(a+b) n(a+c)(c+d) n(b+d(c+d) 都不会太大，因此这四个数的和 n(ad -be)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 也不会太大 O另外，任意给定一个α（称为显著性水平，通常取为0.05，0.01 等），可以找到满足条件 P(χ^2≥k)=α 的数（称为显著性水平α对应的分位数) χ-是一个随机变量，其分布能够求出，上面的概率是可以计算的。 因此，如果根据样本数据算出X^的值后，发现χ≥k成立，就称在 犯错误的概率不超过α的前提下，可以认为A与B不独立（也称为 A与B有关）；或说有1-α的把握认为A与B有关。 若χ^2<k成立，就称不