9.2 独立性检验（五大题型）-2022-2023学年高二数学新教材同步配套教学讲义（苏教版2019选择性必修第二册）

学利科购 李科网原创，让李司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 9.2 独立性检验 【题型归纳目录】 题型一：用2×2列联表分析两分类变量间的关系 题型二：用等高堆积条形图分析两分类变量间的关系 题型三：有关“相关的检验 题型四：有关“无关的检验 题型五：独立性检验的综合应用 【知识点梳理】 1、分类变量 这里所说的变量和值不一定是具体的数值，例如：性别变量，其取值为男和女两种 我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为分类变量，分类 变量的取值可以用实数表示 2、2×2列联表 在实践中，由于保存原始数据的成本较高，人们经常按研究问题的需要，将数据分类统计，并做成表 格加以保存，我们将这类数据统计表称为2×2列联表，2×2列联表给出了成对分类变量数据的交叉分类频数. 一般地，假设有两个分类变量X和Y,它们的取值分别为，2}和，2}，其2×2列联表为 片 合计 a b atb 5 d c+d 合计 a+c b+d a+b+c+d 3、等高堆积条形图 等高条形图和表格相比，更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等高条形图展示列联 表数据的频率特征，依据频率稳定于概率的原理，我们可以推断结果 4、临界值 x统计量也可以用来作相关性的度量，x越小说明变量之间越独立，x越大说明变量之间越相关 n(ad-be)2 ·忽略x的实际分布与该近似分布的误差后，对于任何小概率值α，可 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 以找到相应的正实数x,使得P(x2≥x)=a成立.我们称x,为a的临界值，这个临界值就可作为判断x2 大小的标准， 5、独立性检验 基于小概率值α的检验规则是： 当x2≥x,时，我们就推断Ho不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 令学利四 学科网原创，让李司更多易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 当x<x时，我们没有充分证据推新H不成立，可以认为X和了独立. 这种利用x的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为x独立性检验，读作“卡方独立性检验”， 简称独立性检验(test of independence). 下表给出了X独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 Xa 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 6、应用独立性检验解决实际问题的大致步骤 (1)提出零假设H。：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释： (2)根据抽样数据整理出2×2列联表，计算x的值，并与临界值x比较： (3)根据检验规则得出推断结论： (4)在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和了间的影响规律。 【典型例题】 题型一：用2×2列联表分析两分类变量间的关系 【方法技巧与总结】 (1)作2×2列联表时，关键是对涉及的变量分清类别.计算时要准确无误。 (2)利用2×2列联表分析两个分类变量间的关系时，首先要根据题中数据获得2×2列联表，然后根据 领半特征，即将与Cb与d 的值相比，直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，但 a+b c+dla+b c+d 方法较粗劣。 例1.(2023全国高二单元测试)假设有两个分类变量x与y的2×2列联表如下表： 片 a 6 X2 对于以下数据，对同一样本能说明x与y有关系的可能性最大的一组为() A.a=5,b=4,c=3,d=2 B.a=5,b=3,c=4,d=2 C.a=2,b=3,c=4,d=5 D.a=2,b=3,c=5,d=4 【答案】D 【解析】 对于两个分类变量x与y而言，ad-bc的值越大，说明x与y有关系的可能性最大， 对于A选项，ad-bc-5×2-4x3-2, 对于B选项，ad-bc=5×2-3×4=2, 2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 令学利四 李科网原创，让学司更客品！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 对于C选项，ad-bc=2x5-3×4-2, 对于D选项，lad-bc=2×4-3×5=7, 显然D中ad-bc最大， 故选：D 例2，(2023福建厦门双十中学高二阶段练习（理）)在一次独立性检验中，得出列联表如图：且最后 发现，两个分类变量A和B没有任何关系，则a的可能值是() A 合计 小 200 800 1000 B 180 a 180+a 合 380 800+a 1180+a 计 A,200 B.720 C.100 D.180 【答案】B 【解析】 解：因为两个分类变量A和B没有任何关系， 所以K?= (1180+a(200a-800-180 <2.702, 380.(800+a1000(180+a】 代入