9.1 线性回归分析（十大题型）-2022-2023学年高二数学新教材同步配套教学讲义（苏教版2019选择性必修第二册）

学利购 学科网原创，让学司更会！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 9.1线性回归分析 【题型归纳目录】 题型一：相关关系的理解 题型二：散点图与相关性 题型三：散点图及其应用 题型四：线性相关性的检验 题型五：判断线性相关的强弱 题型六：求回归直线方程 题型七：利用回归直线方程对总体进行估计 题型八：线性回归分析 题型九：非线性回归分析 【知识点梳理】 1、相关关系 两个变量间的关系有函数关系，相关关系和不相关关系 两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系， 2、正相关、负相关 从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称这两个变量 正相关；如果一个变量值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这个两个变量负相关。 3、线性相关 一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条线附近，我们就称这两个变量 线性相关。 一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关. 4、相关系数r的计算 注意：相关系数是研究变量之间线性相关程度的量 假设两个随机变量的数据分别为x,,x,y)…,x。,y,)，对数据作进一步的标准化处理”处理， -号-列分除-和-1=12和5分别为和 月，乃2…，y,的均值)， 为简单起见，把上述“标准化” 处理后的成对数据分别记为x,》,x,y),,x,y),则变量x和变量y的样本相关系数r的计算公式如下： 1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学利购 学科网原创，让学司更会！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 (x-0为-列 r=++…+x -到- 5、一元线性回归模型 Y=bx+a+e, 我们称 ,为了关于x的一元线性回归模型，其中Y称为因变量或响应变量，x称为自 E(e)=0,D(e)=o 变量或解释变量；a和b为模型的末知参数，a称为截距参数，b称为斜率参数；e是Y与bx+4之间的随机 误差 6、线性回归方程与最小二乘法 回归直线方程过样本点的中心（民，），是回归直线方程最常用的一个特征 我们将氵=r+à称为Y关于x的线性回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验 回归直线.这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的b,à叫做b,a的最小二乘估计 (leastsquaresestimate), 立-y-到立男-底万 b= 其中 - -m à=-i旋 7、残差的概念 对于响应变量Y,通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的)称为预测值，观测值减 去预测值称为残差，残差是随机误差的估计结果，通过残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判 断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析. 8、刻画回归效果的方式 (1)残差图法 作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称 为残差图.若残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，带状区域越窄，则说明拟合效果越好。 (2)残差平方和法 残差平方和∑(y-)广，残差平方和越小，模型拟合效果越好，残差平方和越大，模型拟合效果越差。 【典型例题】 题型一：相关关系的理解 【方法技巧与总结】 函数关系是一种确定的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.函数关系是一种因果关系， 2 、原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科四 学科网原创，让学司更会！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系。 例1.(2023·全国高二专题练习)下列说法正确的是（) A.y=2.x2+1中的x,y是具有相关关系的两个变量 B.正四面体的体积与棱长具有相关关系 C.电脑的销售量与电脑的价格之间是一种确定性的关系 D.传染病医院感染传染病的医务人员数与医院收治的传染病人数是具有相关关系的两个变量 【答案】D 【解析】A,B均为函数关系，故A、B错误：C,D为相关关系，故C错，D对 故选：D 例2.(2023全国·高二专题练习)下列说法正确的是（) A,任何两个变量都具有相关关系 B.球的体积与该球的半径具有相关关系 C.农作物的产量与施化肥量之间是一种确定性关系 D.一个学生的数学成绩与物理成绩之间是一种非确定性的关系 【答案】D 【解析】当两个变量之间具有确定的关系时，两个变量之间是函数关系，而不是相关关系，故A错误： 球的体积与该球的半径之间是函数关系，故B错误： 农作物的产量与施化肥量之间的关系是相关关系，是非确定性关系，故C错误： 学生的数学成绩与物理成绩之间的关系是相关关系，是非确定性关系，故D正确 故选：D 例3.(2023全国高二专题练习)对于变量