3.4 复数的三角表示-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册同步全程学习课时作业word（湘教版）

*3.4　复数的三角表示 选题明细表 知识点、方法 题号 复数的三角形式 1,2,3 复数的辐角 4,7,10,13 复数三角形式的乘除运算 5,6,8,9,11,12,14 基础巩固 1.复数z=sin 15°+icos 15°的三角形式是(　D　) A.cos 195°+isin 195° B.sin 75°+icos 75° C.cos 15°+isin 15° D.cos 75°+isin 75° 解析:z=sin 15°+icos 15°=cos 75°+isin 75°. 故选D. 2.设复数z=2(cos +isin ),那么z的共轭复数的代数形式是(　B　) A.+i B.-i C.--i D.-+i 解析:因为z=2(cos +isin ) =+i,所以=-i.故选B. 3.若复数z的模为2,其一个辐角为,则等于(　A　) A.+i B.-i C.1-i D.1+i 解析:由已知可得z=2(cos +isin ) =-1+i,所以== =+i.故选A. 4.若复数z=(a+i)2的一个辐角是,则实数a的值是(　B　) A.1 B.-1 C.- D.- 解析:因为z=(a+i)2=(a2-1)+2ai,arg z=,所以所以a=-1.故选B. 5.若复数z=cos +isin (i是虚数单位),复数z2的实部、虚部分别为a,b,则下列结论正确的是(　C　) A.ab<0 B.a2+b2≠1 C.= D.= 解析:因为z=cos +isin ,所以z2=(cos +isin )2=cos + isin =+i, 则a=,b=, 则ab>0,a2+b2=1,=,=.故选C. 6.复数4(cos +isin )的一个平方根是(　D　) A.2(cos +isin ) B.2(cos -isin ) C.4(cos +isin ) D.2(cos +isin ) 解析:因为[2(cos +isin )]2=4(cos +isin ). 所以4(cos +isin )的一个平方根是2(cos +isin ).故选D. 7.设复数z1=1+i,z2=+i,则的一个辐角是　　　.  解析:由题知,z1=2(cos +isin ), z2=2(cos +isin ), 所以的一个辐角为-=. 答案: 能力提升 8.复数z=sin -icos ,若zn=(n∈N+),则n的最小值是(　C　) A.1 B.3 C.5 D.7 解析:因为z=sin -icos=cos -isin =cos(-)+isin (-), =cos +isin , 所以=cos +isin =zn=cos(-)+isin (-), 由此得=2kπ-,k∈Z,所以n=6k-1,k∈Z,又n∈N+,故n的最小值为5.故选C. 9.向量,分别对应非零复数z1,z2,若⊥,则是(　B　) A.负实数 B.纯虚数 C.正实数 D.虚数a+bi(a,b∈R,a≠0) 解析:设复数z1=r1(cos θ1+isin θ1),z2=r2(cos θ2+isin θ2),由于⊥,所以==[cos (θ1-θ2)+isin (θ1- θ2)]=[cos (±90°)+isin (±90°)]=±i,即为纯虚数.故选B. 10.复数sin 4+icos 4的一个辐角为(　D　) A.4 B.-4 C.2π-4 D.-4 解析:sin 4+icos 4=cos(-4)+isin(-4).故选D. 11.将复数z1=3+i对应的向量绕原点按逆时针方向旋转所得到的向量对应的复数为　　　　,该复数除以复数+i后所得到的复数为　　　　.(用代数形式表示)  解析:z1=3+i=2(cos +isin). 由题意知2(cos +isin )·(cos +isin )=2(cos + isin ),即将复数z1=3+i对应的向量绕原点按逆时针方向旋转所得到的向量对应的复数为2(cos +isin )=-3+i. 因为+i=cos +isin , 所以=2(cos +isin )=2i. 答案:-3+i　2i 12.计算下列各式. (1)(cos 36°+isin 36°)-5; (2)[2(cos +isin )]-4. 解:(1)(cos 36°+isin 36°)-5===-1. (2)[2(cos +isin )]-4=== =[cos(-)+isin(-)]=-+i. 13.设w=z+ai(a∈R),z=,且|w|≤,求w的辐角θ的正切值的取值范围. 解:z= = ==1-i. 所以w=1-i+ai=1+(a-1)i. 因为|w|≤,所以≤, 所以-1≤a-1≤1, 又tan θ=a-1, 所以-1≤tan θ≤1, 即θ的正切值的取