专题18.3 （特殊）的平行四边形中的最值与综合压轴问题 专题讲练-2022-2023学年八年级数学下册重难题型全归纳及技巧提升专项精练（人教版）

令学利科购 学科网原创，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 专题18.3（特殊）的平行四边形中的最值与综合压轴问题专题讲练 1、以特殊平行四边形为背景的最值问题 解题技巧：几何背景下的最值是考生感觉较难的，往往没有思路。常见的有：()几何图形中在特殊位置下 的最值；（②）比较难的线段的最值问题，其依据：①两点之间，线段最短：②垂线段最短，涉及的基本方法 还有：利用轴对称变换、旋转变换化归到“三角形的三边关系”等。 常见最值模型：(1)将军饮马：(2)瓜豆原理（动态轨迹问题）；(3)胡不归；(4)费马点问题。 注意：正方形和菱形、矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，常运用其轴对称性解决最小值问题。 1)矩形中的最值问题 例1.(2022四川眉山中考真题)如图，点P为矩形ABCD的对角线AC上一动点，点E为BC的中点，连 接PE,PB,若AB=4,BC=4W3,则PE+PB的最小值为 P B 【答案】6 【分析】作点B关于AC的对称点B,交AC于点F,连接BE交AC于点P,则PE+PB的最小值为BE的 长度：然后求出BB和BE的长度，再利用勾股定理即可求出答案。 【详解】解：如图，作点B关于AC的对称点B,交AC于点F,连接BE交AC于点P,则PE+PB的最 小值为BE的长度： B F B E :AC是矩形的对角线，AB=CD=4,∠ABC90°， 在直角△4BC中，AB=4,，BC=4W3,AC-8,LACB=30°， 1/64 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学种问原创，让学习更答为！ mxx cOM学科网精品频道全力推荐 由对称的性质，得B′B=2BF，B’B⊥AC．∴BF=2BC=25，∴BB=2BF=4\sqrt{5} ∵BE=EF=2\sqrt{5}，∠CBF=60^∘，∴△BEF是等边三角形， ∴BE=BF=B’F，∴ΔBEB′是直角三角形， ∴B'E=\sqrt{BB}^2-BE^2=\sqrt{4}\sqrt{5}-(2\sqrt{3})^2=6，∴PE+PB的最小值为63故答案为；6. 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，特殊角的三 角函数值，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的找到点P使得PE+PB有最小值． 变式1.（2022·泗阳县校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P是AB上动点，PQ平行于BC 交CD于Q.M是AD上动点，MN平行于AB交BC于N．则PM+NQ的最小值为_— A___M—D 【点睛】如图，设PQ交AMN于F，连接AF、CF．由四边形APFM、四边形COFN是矩形，推出PM=AF ，NQ=CF，推出PM+CQ=AF+CF，由FA+FC24C，即可解决问题 【详解】解：如图，设PQ交MN于F，连接AF、CF、AC． P- ∵四边形ABCD是矩形，PQ∥BC，MN/AB，∴可得四边形APFM、四边形CQFN是矩形， ∴PM=AF.NQ=CF，∴PM+CO=AF+CF，∵FA+FCzAC，AC=\sqrt{8}^2+4^2=5， ∴AF+FC的最小值为5，∴PM+NQ的最小值为5．故答案为5 例2.（2022安徽合肥二模）如图，在矩形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA上的动 点(不与端点重合)，若四点运动过程中满足AE=CG、BF=DH，且AB=10、BC=5，则四边形EFGH周长的最 小值等于（） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2/64° 令学利科购 学科网原到，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 E D A.105 B.10√5 C.5√5 D.55 【答案】A 【分析】由矩形的性质与线段的等量关系证明△AEH≌aCGF(SAS),aBEF≌aDGH(SAS),则EH=GF, EF=HG,如图，作E关于BC的对称点E,连接E'G交BC于F,此时EF+FG最小，即四边形EFGH周 长最小，作GG'⊥AB于G,则四边形BCGG'是矩形，BG'=CG,GG'=BC=AD,则E'G'=AB=10, GG'=AD=5,在R1aGE'G中，由勾股定理得EG=VEG)'+(GG)'求出EG的值，进而可求最小的周长. 【详解】解：：四边形ABCD是矩形，.AB=CD,AD=BC,∠BAD=∠ADC=∠BCD=∠ABC=90°， AE CG,BF DH,BE DG.CF=AH AH=CF 在△AEH和△CGF中： ∠EAH=∠GCF=90°，÷aAEH≌△CGF(SAS), AE=CG EH=GF,同理△BEF≌△DGH(SAS),点EF=HG, 如图，作E关于BC的对称点E,连接E'G交BC于F,此时EF+FG最小，即四边形EFGH