1.3.3 三次函数的性质 单调区间和极值-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册同步全程学习全书word（湘教版2019）

学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 1.3.3 三次函数的性质：单调区间和极值 知识探究·素养启迪 ②知识探究 1.三次多项式函数的性质 设F(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，则F'(x)=3ax2+2bx+c是二次函数，可 能有以下三种情形： 情形1函数F(x)没有零点，F'(x)在(-∞，+∞)上不变号， (1)若a>0,则F'(x)恒为正，F(x)在（∞，+∞）上递增. (2)若a<0,则F(x)恒为负，F(x)在(-∞，+∞)上递减 情形2函数F'(x)有一个零点xw, (1)若a>0,则F'(x)在(-∞，w)U(w,+∞)上恒为正，F(x)在(-∞，+∞) 上递增。 (2)若a<0,则F'(x)在(-∞，w)U(w,+∞)上恒为负，F(x)在(-∞，+∞) 上递减。 情形3函数F'(x)有两个零点x=u和x=v,设u<v,根据二次函数的 性质可得： (1)若a>0,则F'(x)在(-o∞，u)和(v,+∞)上为正，在(u,v)上为负，对 应地，F(x)在(-∞，u)上递增，在(u,v)上递减，在(v,+∞)上递增.可 见F(x)在xu处取极大值，在x=v处取极小值. (2)若a<0,则F'(x)在(-∞，u)和(v,+∞)上为负，在(u,v)上为正，对 应地，F(x)在(-∞，u)上递减，在(u,v)上递增，在(v,+∞)上递减： 可见F(x)在xu处取极小值，在x=V处取极大值. ·独家授权侵权必究· 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 2.闭区间上函数的最值 (1)最值. 一般地，如果在闭区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的 曲线，那么该函数在[a,b]上必有最大值和最小值. (2)求函数最值的步骤。 ①求函数y=f(x)在(a,b)内的极值： ②求函数y=f(x)在端点处的函数值f(a),f(b); ③将函数yf(x)的各极值与f(a),f(b)比较，其中最大者是最大值， 最小者是最小值 公小试身手 1.(2021·山东潍坊高二期末)已知当x=m时，函数f(x)=x3-12x取得 极大值，则m等于(B) A.-4B.-2 C.4D.2 2.(多选题)函数y=x3-3x+4有(AD) A.极大值6B.极小值6 C.极大值2D.极小值2 3.若函数f(x)=axln x(a∈R)的最小值为-l,则实数a= 答案：e 4.函数f(x)=x3+ax2+x+b在x=1时取得极值，则实数a= 答案：-2 课堂探究·素养培育 ·独家授权侵权必究· 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 )探究点一 三次函数的性质 [例1](2021·陕西咸阳高二期末)已知函数f(x)=x3-3ax-1(a∈R). (1)当a=1时，求函数f(x)的极大值： (2)讨论函数f(x)的单调性. 解：(1)当a=1时，f(x)=x33x-1,该函数的定义域为R,且f'(x) =3x2-3.令f(x)>0,得x<-1或x>1;令f(x)<0,得-1x<1. 所以f(x)在(-∞，-1)，(1，+∞)上单调递增，在(-1,1)上单调递减，故 f(x)的极大值为f(-1)=1. (2)f′(x)-3x2-3a=3(x2-a). ①当a≤0时，f'(x)≥0在R上恒成立，f(x)在R上单调递增： ②当a>0时，令f'(x)>0,得x<√a或x√a: 令f'(x)<0,得-√a<x<√a. 所以函数f(x)在(-∞，√a),(Wa,+∞)上单调递增，在（√a,√a)上单 调递减 Q方法总结 三次函数的导函数是二次函数，根据二次函数的图象与性质可以非常 方便地研究三次函数的单调性和极值. [变式训练1]已知函数f(x)=x3+ax2+bx+4在x=1处取得极值号， (1)求a,b的值： (2)求函数的另一个极值. 解：(1)因为f(x)=x3+ax2+bx+4, ·独家授权侵权必究 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.2 xxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 所以f'(x)=3x2+2ax+b. 依题意可得f'(1)=0,f(1)号， (3+2a+b=0, ∫a=-, 即1+a+b+4=多解得b=-2 (2)由(1)知f(x)=x3-x2-2x+4, f'(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1). 令f'(x)=0,得x=号或x=1. 当x变化时，f'(x),f(x)的变化情况如表， (1, X (∞，号) (-号，1) 1 +c∞) f'(x) 0 0 f(x) 递增刀 极大值 递减 极小值 递增 所以函数的另一个极值在x=子处取得，是极大