2.3.1 空间向量的分解与坐标表示-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册同步全程学习全书word（湘教版2019）

学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 2.3 空间向量基本定理及坐标表示 2.3.1空间向量的分解与坐标表示 知识探究·素养启迪 )知识探究 1.共面向量 (1)概念 一般地，能平移到同一平面内的向量叫作共面向量 (2)三向量共面的充要条件. 如果两个向量e1,e2不共线，那么向量p与向量e1,e2共面的充要条件 是存在有序实数组(x,y),使得pxe1+ye2. 2.空间向量基本定理 (1)定理 设e1,e2,e3是空间中三个不共面向量，则空间中任意一个向量p可以 分解成这三个向量的实数倍之和：p=xe1tye2+ze3, 上述表达式中的系数x,y,z由p唯一确定，即 p=xer+ye2+ze3=x'erty'e2+z'e3,x=x',y=y'z=z'. (2)基、基向量、向量在基下的坐标 在空间向量基本定理中，我们把{e1,e2,e3}称为空间的一组基， e1,e2,e3叫作基向量.(x,y,z)称为向量pxe1tye2+ze3在基{e,e2,eg) 下的坐标 3.空间向量的直角坐标表示 (1)标准正交基. ·独家授权侵权必究· 品牌书店·知名教辅·正版资源 学科网书城^ 枢身边的互联网+教辅专家 空间任意三个两两垂直、长度均为1的向量i，j，k不共面，可将它们 组成空间的一组基，我们把这组基称为标准正交基。 (2)空间向量的坐标。 空间每个向量p都可以分解成基向量的实数倍之和：p=xi+yj+zk， 系数x，y，z按顺序排成的实数组(x，y，z)，称为向量p的坐标，记为p= (x，y，z)． (3)空间向量在直角坐标系中的坐标。 一个空间向量在空间直角坐标系中的坐标，等于表示这个空间向量的 有向线段的终点的坐标减去它的起点的坐标。 ◎小试身手 1.对于空间的任意三个向量a，b，2a-b，它们一定是(A) A.共面向量 B.共线向量 C.不共面向量 D.既不共线也不共面的向量 2.下列说法中正确的是(c) A.任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基 B.空间的基有且只有一个 C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基 D.基{a，b，c}中的基向量与基{e，f，g}中的基向量对应相等 3.已知i，j，k分别是空间直角坐标系O-xyz中x轴、y轴、z轴的正 方向上的单位向量，且oB-i+j-k，则点B的坐标是(A) _______独家报权侵权必究- 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2 xxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 A.（-1,1,-1)B.(-i,j,k) C.(1,1,-1)D.不确定 4.设{i,j,k}是空间的一个单位正交基，a=2i-4j计5k,b=i+2j-3k,则向 量a+b的坐标是 答案：(3，-2,2) 课堂探究·素养培育 探究点一 共面向量 [例1]（多选题）若向量MA,MB,MC的起点M和终点A,B,C互不重合 且无三点共线，则下列四个式子能得出M,A,B,C四点共面的是() A.0M号OA+号OB+0C B.MA-MB+MC C.OM-OA+OB+OC D.MA-2MB MC 解析：对于选项A,C,由结论OM-X0A+yOB+zOC(x +y+z=1)曰M,A,B,C四点共面，A符合题意，C不符合题意；对于选项 B,D,易知MA,MB,MC共面，又有公共点M,所以M,A,B,C四点共面，所 以B,D符合题意.故选ABD. Q方法总结… 设P是平面上任一点，A,B,C是平面上的三点，PC-xPA'yPB(P,A,B 不共线)，则A,B,C三点共线曰x+y=1,把此结论类比到空间上就是： PA,PB,PC不共面，若PD-XPA+yPB+zPC,则A,B,C,D四点共面台 x+y+z=1. ·独家授权侵权必究· 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 [变式训练1](2021·陕西宝鸡高二期末)已知P为空间中任意一点， A,B,C,D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且PA号PB xPC BD,则实数x的值为() A.寺B. C.名D.言 解析：PA号PB-xPC+名BD 号PB-xPC+名PDPB PB-xPC+名PD, 所以号x+名1， 解得x: 故选B. ②探究点二 空间向量基本定理 [例2]在四面体OABC中，M是OA的中点，G是△ABC的重心，试用基向 量OA,OB,OC表示向量MG 解：如图所示，连接AG并延长交BC于点D, 则D为BC的中点， 且ADAB+AC) 因为G为△ABC的重心， 所以AG号AD寸(AB+AC). ·独家授权侵权必究· 学科网书城园 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 又因为AB-OB OA