2.4.1—2.4.2 空间直线的方向向量和平面的法向量-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册同步全程学习课件PPT（湘教版2019）

导 2.4 空间向量在立体几何中的应用 2.4.1 空间直线的方向向量和平面的法向量 2.4.2空间线面位置关系的判定 知识探究素养启迪 )知识探究 1.直线的方向向量 一 般地，如果非零向量v与直线1平行，就称v为1的方向向量 2.平面的法向量 如果非零向量n所在直线与平面a垂直，则称n为平面a的法向量 3.空间向量与空间位置关系 设空间两条直线11,12的方向向量分别为V1=(x1,y1,z1),V2(x2,y2,z2),两个平 面a,a2的法向量分别为n1=(a1,b1,c),n2(a2,b2,c2),则 位置关系 向量表示 向量运算 坐标运算 11L12 V1⊥V2 V1V2-0 X1X2+y1y2+Z1Z2=0 ai=kxi,bi=kyL, 11⊥a1 v1/∥n1 ni=kv1 C1=kZ1, k为非零常数 aiLa2 n1⊥n2 n1n2-0 aia2+bib2+Cic2=0 X2=kX1, 1∥12 v1∥2 V2=kv1 y2=ky1, Z2=kZ1, k为非零常数 11∥a1 v1⊥n1 v1n1=0 x1a1+y1b1+z1c10 a2-kal, a1∥a2 n1/∥n2 n2=kn1 b2=kb1, C2=kCl, k为非零常数 4.三垂线定理 (1)点在平面内的射影。 过点P作平面α的垂线，则称垂足P_0为点P在平面α内的射影。 (2)直线在平面内的射影。 如果直线l垂直于平面α，那么1在α上的射影是一个点，就是1与α的交点。如果1与α 不垂直，1在α上的射影就是一条直线。 (3)平面的斜线。 我们把与平面α相交但不垂直的直线称为平面α的斜线。 (4)三垂线定理。 如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的_射影_垂直，则它和这条斜 线也垂直。 (5)三垂线定理的逆定理。 如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它和这条斜线在平面内的射影也 垂直。 ◎小时自王 1.(2021浙江宁波高二期末)已知向量a=(4，4，5)，b=(-7，x，y)分别是直线 1_1，1_2的方向向量，若1_1⊥1_2，则下列几组解中可能正确的是(A) A.x=2，y=4B.x=4，y=3 C.x=1，y=3D.x=6，y=2 2.若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使1∥α的是(D) A.a=(1，0，0)，n=(-2，0，0) B.a=(1，3，5)，n=(1，0，1) C.a=(0，2，1)，n=(-1，0，-1) D.a=(1，-1，3)，n=(0，3，1) 3.(2021·陕西咸阳高二期末)己知直线1的方向向量为(2,1，m),平面a的法向量 为(1，-，2)，若1⊥a,则实数m等于(C) A.22 B.3 C.4 D.5 4.己知平面a与平面B垂直，若平面a与平面B的一个法向量分别为u=（-1,0,5), v=(t,5,1),则t的值为5 课堂探究素养培育 探究点一 求平面的法向量 [例]如图，四边形ABCD是直角梯形，∠ABC-90°，SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC1, AD-,分别求平面SCD与平面SBA的一个法向量， 1 B 2 解：因为AD,AB,AS是三条两两相互垂直的线段，所以以A为原点，分别以 为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， AD AB AS 则A(0,0,0),D(,0,0),C(1,1,0),S(0,0,1), 1 2 所以=(-，O,O)是平面SBA的一个法向量 1 设平却SCB的法向量为n=(1,入，u)（入，uER), 则n·=(1,入，u)·(,1,0)=+入=0，所以入=一」 1 1 1 DC 2 2 2 n·=(1,入，u)·(-,0,1)=-+u=0, 1 1 所0S=,所以n=(1,2,). 2 11 综上，平面SCD的一个法狗量为n=(1,一，)，平面SBA的一个法向量为 =(,0,0) 11 1 (答案不唯一). 22 AD 2