2.3 简单的三角恒等变换-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册同步全程学习全书word（湘教版）

学科网书城园 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 2.3简单的三角恒等变换 [日标导航] 核心知识目标 核心素养目标 1.能用二倍角公式导出半角公 式，体会其中的三角恒等变换的 在对公式的推导和应用过程中，发 基本思想. 展数学抽象、逻辑推理、数学运算 2.能利用三角恒等变换对三角 的核心素养 函数式化简、求值和证明： 知识探究·素养启迪 )知识探究 1.半角公式 (1)半角公式 sin号=士Vg照 ,① cos 号士V中型 2 ,② tan号=± cosa 1+oosa .③ 公式①②③统称为半角公式，分别简记为S,C,T,符号根据号所在 的象限来判断. (2)万能公式 角a（a≠2k元+π，k∈Z)的三角函数值 sina,cosa,tana都可以用tan号来表示： 2tam号 1tan29 sina=+tan2g,c0Sa=+tam2度， tan a-sina 2tan号 oOSa 1-tam29. 独家授权侵权必究· 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 一般称这3个公式为万能公式 2.和差化积与积化和差公式 (1)和差化积公式 cos a +cos s B=2cos a+B cos cos a-cos B=-2sin sin as, sin a+sin B=2sin @+B a-B 2 sin a-sin B-2cossin (2)积化和差公式 cos a cos B=[cos(a+B)+cos(a-B)], sin a sin B=[cos(a+B)-cos(a-B)], sin a cos B=[sin(a+B)+sin(a-B)], cos a sin B=[sin(a+B)-sin(a-B)]. 3.辅助角公式 asin x+bcos x-√+bsin(x+g),其中tan吕，e所在象限由a和 b b的符号确定，或者sin4,cos4. ②小试身手 1.若<0<r,且cos号，则sin等于(D) A.B.C.D. 解析：因为<0<，所以晋<<零， 所以sing 故选D. 2.函数f(x)=5cosx+12sinx的最小值为 ·独家授权侵权必究· 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b2 xxk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 解析：f(x)=13(停cosx+号sinx)=13sin(x+)(其中tan是)， 所以f(x)min-13. 答案：-13 3.已知sina- ，cos5,则an号 解析：因为sina-专0，c0sa-50, 5 所以ā的终边落在第一象限， 号的终边落在第一、第三象限， 所以tan号>0， 25 故tan受V 1-cosa 1+00s 1+25 5-2. 答案：V5-2 课堂探究·素养培育 ②探究点一 应用半角公式求值 [例1]己知sin 号-c0s号=9,450°<a<540°，求sin 号，cos 号，tan号. 解：因为sin号-cos号=写， 所以(sin号-cos号)2=吉. 所以1-sina, 所以sina青： 因为450°<a<540°， 所以225°<号<270°， 所以cosa=是： ·独家授权侵权必究· 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 所以sin 1-cosa 25 cos 1+osa 2 5 n菱 tan 1-C0s 1+00s =2(或tan 号9-2). 。方法总结 (1)若己知三角函数式中的角是待求三角函数式中的角的两倍，则求 解时常常借助半角公式求解，使用半角公式时，要注意根据角的范围 确定三角函数值的符号. (2)在求半角的正切tan号时，用tan号=±y 1-cosa 1+oosa 来处理时，要先由 ā所在的象限角确定号所在的象限，再用三角函数值的符号确定根号 前的符号：而用tan号2或tan号来处理，可以避免这些问 题.尤其是tan号2，分母是单项式，容易计算.因此常用tan号 c求半角的正切值. sin [即时训练1-1]己知sin a号，a是第二象限角，求sin号及tan 号 解：因为α是第二象限角， 所以号是第一、第三象限角， 又因为sina号， 所以cosa=是， 所以sin 号=±yV9诞=±25 2 tan 号 1-c0sg=2 1+00s (或tan号=a立=2). sina ·独家授权侵权必究· 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.2 xxk.com☐ 您身边的互联网+教辅专家 ②探究点二 半角公式在化简三角函数式中的应用 1+sina [例2]已知r<a<乎，化简+sa1-csa 1-sina +√1+msa+W1-0sa (s血等+cos)2 解：原式cos