1.7 平面向量的应用举例-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册同步全程学习全书word（湘教版）

学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 1.7平面向量的应用举例 [日标导航] 核心知识目标 核心素养目标 1.会用向量方法解决简 单的平面几何问题与物 1.通过合作探究用向量方法解决平面几何 理问题， 问题的实际过程，体会数学建模及逻辑推 2.培养运算能力、分析问 理的核心素养 题和解决实际问题的能 2.通过用向量的方法解决力学问题及其他 力. 物理问题，体验数学建模及数学运算的核 3.了解三角形中关于向 心素养 量的有关结论. 知识探究·素养启迪 知识探究 1.向量在几何中的应用 (1)用向量方法解决平面几何问题的“三个步骤” ①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素， 将平面几何问题转化为向量问题， ②通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题. ③把运算结果“翻译”成几何关系. (2)平面向量及三角形的“四心” 设0为△ABC所在平面上一点，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则 ①0为△ABC的外心台OA=OB=|OC. ·独家授权侵权必究· 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 量b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 ②0为△ABC的重心台OA+OB+OC-=0. ③0为△ABC的垂心（三角形三边高的交点）→OA·OBOB·OC-OC· OA. ④0为△ABC的内心台aOA+bOB+cOC-0. 2.向量在物理中的应用 (1)物理问题中常见的向量有力、速度、位移等 (2)向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解上. (3)动量mv是向量的数乘运算. (4)功是力F与位移s的数量积. ②小试身手 1.若向量OF1=(2,2),OF2=(2,3)分别表示两个力F1,F2,则F1+F2为 (D) A.(0,5)B.(4,-1)C.22D.5 解析：由0F1(2,2),0F2(2,3)可知0F1+0F2(2,2)+(2,3)=(0,5), 所以OF1+OF2=5,即F1+F2=5.故选D. 2.河水的流速为2m/s,一艘小船以垂直于河岸方向10m/s的速度驶 向对岸，则小船在静水中的速度大小为(B) A.10m/sB.2√26m/s C.46m/s D.12 m/s 解析： ·独家授权侵权必究· 学科网书城画 品牌书店·知名教捕·正版资源 b.zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 由题意知v水=2m/s,v船=10m/s,作出示意图如图. 所以小船在静水中的速度大小v√10+22√104 2√26(m/s). 故选B. 3.己知A,B,C,D四点的坐标分别是(1,0)，(4,3)，(2,4)，(0,2)，则四 边形ABCD为(A) A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 解析：由题意知， AB=3,3),DC=(2,2), 所以AB∥DC, 又因为AB≠Dc, 所以四边形ABCD为梯形， 故选A 4.己知力F=(2,3)作用在一物体上，使物体从A(2,0)移动到B(-2,3), 则F对物体所做的功为 焦耳 解析：由已知位移AB（4,3), 所以力F做的功为WF·AB2×(4)+3×3=1(焦耳). 答案：1 ·独家授权侵权必究· 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 课堂探究·素养培育 ②探究点二平面向量在几何证明中的应用 [例1] 如图所示，在正方形ABCD中，E,F分别是AB,BC的中点，用向量方法证 明：AF⊥DE. 证明：法一设ADa,ABb, 则a=bl,a·b-0. 又DEDA+AEa+b, AF-AB+BF-b+za, 所以a正·DEb+a)·（-a+b) =a2-a…b+3b2-la2+lb2-0. 故AF⊥DE,即AF⊥DE. 法二 如图所示，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A (0,0),D(0,2),E(1,0),F(2,1), 则AF(2,1), ·独家授权侵权必究· 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 量b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 DE(1,-2). 因为A厅·DE(2,1)·(1,-2)=22=0. 所以AF⊥DE 即AF⊥DE. Q方法总结 可用向量方法求解的平面几何中的一些问题 (1)证明线段平行或相等或点共线问题，可用向量的线性运算 (2)证明线段平行或相等、判断平面几何图形的形状等，可用向量数乘 运算、向量的线性运算. (3)证明线段垂直问题可以转化为线段对应向量的数量积为0. [即时训练1-1]用向量法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边 形 证明： 如图所示，O是四边形ABCD两条对角线AC,BD的交点，且 OA-OC,OB-OD, 则A00C,B00OD 因为ADAO+O