1.3 向量的数乘-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册同步全程学习全书word（湘教版）

学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 1.3向量的数乘 [日标导航] 核心知识目标 核心素养目标 1.了解向量的数乘的概念， 并理解这种运算的几何意 义 1.通过向量数乘运算知识的形成过程， 2.理解并掌握向量数乘的 体会概念及性质的产生发展的过程，达 运算律，会运用向量数乘运 成学生的数学抽象、直观想象、逻辑推 算律进行向量运算. 理及数学运算的核心素养 3.理解并掌握两向量共线 2.通过向量共线的学习与应用，培养学 的性质及其判定方法，并能 生的逻辑推理与数学运算的核心素养. 熟练地运用这些知识处理 有关共线向量的问题， 知识探究·素养启迪 忽知识探究 1.向量的实数倍 (1)向量的数乘：一般地，实数入与向量a的乘积是一个向量，记作入a, 称为a的λ倍，它的长度|xa=|入|a. 当x≠0且a≠0时，入a的方向 7>0时，与a同向， 当7<0时，与a反向； 当入0或a0时，入a=0a=0或入a=入0=0. ·独家授权侵权必究· 学科网书城 品牌书店·知名教捕·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 求向量的实数倍的运算称为向量的数乘。 (2)向量数乘的几何意义：把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或 缩小，把向量的加法、减法、数乘运算统称为向量的线性运算. 向量线性运算的结果仍是一个向量 2.共线向量 (1)当非零向量a,b方向相同或相反时，既称a,b共线，也称a,b平行， 并且用符号“∥”来表示它们共线（或平行），记作a∥b. (2)规定零向量与所有的向量平行. (3)两个向量平行曰其中一个向量是另一个向量的实数倍. 即a∥b台存在实数λ，使得b=入a或a=入b. (4)向量的夹角 如图，设a,b是两个非零向量，任选一点0，作OAa,OBb,则射线 OA,OB所夹的最小非负角∠AOB=0称为向量a,b的夹角，记作<a,b>, 取值范围规定为[0，π]，<a,b>=<b,a>. ①当0=0时，a,b方向相同；当0=r时，a,b方向相反，a,b方向相同或 相反时，a,b共线. ②当0<0<π时，a,b不共线，特别地，当0=时，a与b垂直，记作a⊥ b. ③规定零向量与任一向量垂直. 3.共线向量的运算 ·独家授权侵权必究· 学科网书城画 品牌书店·知名教捕·正版资源 b.2 xxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 (1)单位向量：把长度为1的向量称为单位向量，它的长度等于单位长 度 对于任一非零向量a,与它方向相同的唯一单位向量e高a. (2)运算律：一般地，在一条直线上任取单位向量©，则直线上任何向量 a都可写成a=ae,其中实数a的绝对值a代表向量a的模，a的正负 代表a与e的方向相同或相反，OA,OB共线，且oB-be,OA-ae,则ae ±be=(a±b)e,a(be)=(ab)e. 4.数乘运算律 一般地，设a,b是任意向量，x,y是任意实数，则如下运算律成立： (1)对实数加法的分配律：(x+y)a=xa+ya. (2)对实数乘法的结合律：x(ya)=(xy)a. (3)对向量加法的分配律：x(a+b)=xa+xb. ②小试身手 1.(2a-b)-(2a+b)等于(B) A.a-2b B.-2b C.0 D.b-a 解析：原式=2a2abb=-2b.故选B. 2.点C在直线AB上，且AC-3AB,则BC等于(D) A.-2ABB.专AB C.AB D.2AB 解析：如图，AC-3AB,所以BC-2AB.故选D. AB ·独家授权侵权必究· 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 3.已知AB=a+4b,Bc=2ba,CD-2(a+b),则(B) A.A,B,C三点共线B.A,B,D三点共线 C.A,C,D三点共线 D.B,C,D三点共线 解析：因为Bc+CD-a+4b,即BC+CDAB,所以BDAB,即存在入=1使 BD入AB 所以BD,AB共线. 又因为两向量有公共点B,所以A,B,D三点共线， 故选B. 4.己知a与b共线，且方向相同，若a-8b,则a= b. 解析：因为a与b共线，且方向相同，所以a=λb(x>0). 所以a=xb=xbl. 又a=8b,所以入=8（入>0）.所以a=8b. 答案：8 课堂探究·素养培育 ②探究点一 数乘运算的定义及其几何意义 [例1]己知入，μ∈R,且a≠0，则在以下各命题中，正确命题的个数 为() ①入<0，入a与a的方向一定相反； ②入>0，入a与a的方向一定相同； ③入≠0时，入a与a是共线向量： ④入μ>0时，入a与μa的方向一定相同： ⑤入μ<0时，入a与μa的方向一定相反. ·独家授权侵权必究· 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版