专题3.2 旋转中的重要模型 专题讲练-2022-2023学年八年级数学下册重难题型全归纳及技巧提升专项精练（北师大版）

令学利科购 学科网原到，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 专题3.2旋转中的重要模型专题讲练 模型1、旋转中的半角模型 )半角模型概念：过多边形一个顶点作两条射线，使这两条射线夹角等于该顶角一半 2)思想方法：通过旋转构造全等三角形，实现线段的转化 3)基木模型 (1)正方形含半角 (2)等腰直角三角形含半角 D B 图1 图2 图3 图4 例1.(2022秋陕西宝鸡·九年级统考阶段练习)已知，如图1，四边形ABCD是正方形，E,F分别在边 BC、CD上，且∠EAF=45°，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问趣时，旋转是一种常用 的方法，(I)在图1中，连接EF,为了证明结论“EF=BE+DF”,小亮将△4DF绕点A顺时针旋转90°后解 答了这个问趣，请按小亮的思路写出证明过程：(2)如图2，当∠EAF绕点A旋转到图2位置时，试探究EF 与DF、BE之间有怎样的数量关系？ D E B G B E 图1 图2 【答案】Q)见解析(2)EF=DF-BE, 【分析】(1)利用旋转的性质，证明△AGE三△AEF即可.(2)把AABE绕点A逆时针旋转90°，使AB与 CD重合，点E与点G对应到AD,证明△MEF△AGF即可求得EF=DF-BE· 【详解】(1)证明：如图1， 1/68 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 令学利科购 学科网原创，让学司更会易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 D D G B G 图1 图2 由旋转可得GB=DF,AF=AG·∠BAG=∠DAF ?四边形ABCD为正方形：∠BAD=LADF=∠ABC=90° LABC+LABG=180°·G、B、C三点在一条直线上 ”LEAF=45°·LBAE+LDAF=45÷LBAG+LBAE=45°=LEAF AG=AF 在△4GE和△MFE中 ∠GAE=∠EAF:△AGES△AFE(SAS)÷GE=EF AE=AE GE GB BE BE DF EF BE +DF (2)结论：EF=DF-BE. 理由：如图2，把△4BE绕点A逆时针旋转90°，使AB与AD重合，点E与点G对应，同(1)可证 得△AEF=△AGF(SAS)·EF=GF,且DG=BE:EF=DF-DG=DF-BE 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质及全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利 用旋转法构造全等三角形 变式1.(2022秋·重庆綦江·八年级校考阶段练习)(1)如图1，在四边形ABCD中， AB=AD,∠B=∠D=90,R、F分别是边BC、CD上的点，且∠BAF-BAD,求证：EF=BE+FD: (2)如图2，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且 EF=BE+FD:求i证：∠EAF=∠BMD, (3)如图3，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点， 且∠EAF=40°，∠BAD=80°，写出EF、BE、FD之间的数量关系，并证明你的结论. 2/68 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 令学利科购 学科网原到，让李司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 图1 图2 图3 【答案】(1)见解析：(2)见解析：(3)EF=BE-FD;理由见解析 【分析】(1)延长EB到G,使BG=DF,连接AG,证明aAEG≌△AEF(SAS),可得EG=EF,进而可得 结论；(2)延长CB至M,使BM=DF,连接AM,证明aABM≌aADF(SAS),可得AF=AM,∠2=∠3 然后根据EF=BE+DF=BE+BM=EM,证明aAME≌AFE(SSS),可得∠MAE=∠EAF,进而可以 得到结论：(3)在BE上截取BG,使BG=DF,连接AG,证明△ABG≌△ADF(SAS),可得 ∠BAG=∠DAF,AG=AF.然后可得出DF=BG,GE=EF,那么EF=GE=BE-BG=BE-DF, 【详解】(I)证明：如图1中，延长EB到G,使BG=DF,连接AG: D 图1 图2 图3 ∠ABG=∠ABC=∠D=90,AB=AD,∴△ABG≌△IDF(SAS), ÷AG=AE,A=∠2，六∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=5∠BAD,LGAE=∠EAF, AE =AE,.AEGAEF(SAS),.EG=EF,EG=BE +BG,EF BE+FD (2)证明：如图2，延长CB至M,使BM=DF,连接AM ∠ABC+∠D=180°，∠I+∠ABC=180°，∠1=∠D, AB=AD 在△ABM与△ADF中， ∠I=∠D,.aABM≌△ADF(SAS),AF=AM,∠2=∠3， BM=DF AE=AE SE