10.5 分式方程-2022-2023学年八年级数学下册同步重难点精讲精练培优讲义（苏科版）

2022-2023学年苏科版数学八年级下册同步重难点精讲精练培优讲义 10.5 分式方程 1. 了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程． 2. 会列出分式方程解简单的应用问题． 知识点01：分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫分式方程. 知识要点：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. （2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 知识点02：分式方程的解法 解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根. 解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 知识点03：解分式方程产生增根的原因 方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根. 产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根. 知识要点：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根. （2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的. 知识点04：分式方程的应用 分式方程的应用主要就是列方程解应用题. 列分式方程解应用题按下列步骤进行： （1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系； （2）设未知数； （3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程； （4）解这个分式方程； （5）验根，检验是否是增根； （6）写出答案. 【典例分析01】（2022秋·福建厦门·八年级统考期末）（1）解方程：． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）（2）， 【思路点拨】（1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤求解，并检验即可获得答案； （2）按照完全平方公式和平方差公式进行化简，然后代入求值即可． 【规范解答】解：（1）， 去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得 ， 经检验，是原方程的解， ∴该分式方程的解为 ； （2）原式 ， 当时， 原式． 【考点剖析】本题主要考查了解分式方程以及整式化简求值，熟练掌握相关知识是解题关键． 【变式训练01】（2022秋·海南省直辖县级单位·八年级统考期末）计算： (1) (2)分解因式： (2) (4)解方程： 【变式训练02】（2022秋·重庆·八年级统考期末）（1）计算      （2） 解方程： （3） 计算        （4）计算 【变式训练03】（2023秋·山东滨州·八年级统考期末）解方程： (1) ； (2)． 【典例分析02】（2023春·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考开学考试）若关于x的一元一次不等式组无解，且关于y的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（    ） A．6 B．8 C．13 D．15 【答案】B 【思路点拨】表示出不等式组的解集，由不等式组无解，得到的取值范围，表示出分式方程的解，由分式方程的解为整数确定出的值，相加即可． 【规范解答】解： 不等式组整理得：， 由不等式组无解， ， 分式方程 去分母得：， 解得：， 由分式方程解为整数，且， ∴，，，， ∴a可取的值为0，2，3，，4，， ∵， ∴整数a可取的值为0，2，3，，4， 则满足题意的值和为， 故选：B． 【考点剖析】此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键． 【变式训练04】（2022秋·北京海淀·八年级校考期末）若数a使关于x的分式方程的解为非负数，且使关于y的不等式组的解集为