核心考点08空间直线、平面的垂直-【满分全攻略】2022-2023学年高一数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（人教A版2019必修第二册）

核心考点08空间直线、平面的垂直 目录 考点一：异面直线及其所成的角 考点二：异面直线的判定 考点三：直线与平面垂直 考点四：平面与平面垂直 考点五：直线与平面所成的角 考点六：二面角的平面角及求法 ( 考点 考向 ) 一．异面直线及其所成的角 【知识点的认识】 1、异面直线所成的角： 直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0，]．当θ＝90°时，称两条异面直线互相垂直． 2、求异面直线所成的角的方法： 求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线． 3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识： 二．异面直线的判定 【知识点的认识】 （1）判定空间直线是异面直线方法： ①根据异面直线的定义； ②异面直线的判定定理． 三．直线与平面垂直 【知识点的认识】 直线与平面垂直： 如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面． 直线与平面垂直的判定： （1）定义法：对于直线l和平面α，l⊥α⇔l垂直于α内的任一条直线． （2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面． （3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面． 直线与平面垂直的性质： ①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α⇒a∥b ②由定义可知：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b． 四．平面与平面垂直 【知识点的认识】 平面与平面垂直的判定： 判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． 平面与平面垂直的性质： 性质定理1：如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面． 性质定理2：如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内． 性质定理3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面． 性质定理4：三个两两垂直的平面的交线两两垂直． 五．直线与平面所成的角 【知识点的认识】 1、直线和平面所成的角，应分三种情况： （1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角； （2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°； （3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°． 显然，斜线和平面所成角的范围是（0，）；直线和平面所成的角的范围为[0，]． 2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节： （1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角； （2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角； （3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角． （4）答﹣﹣回答求解问题． 在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想． 3、斜线和平面所成角的最小性： 斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线是斜线在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角． 用空间向量直线与平面所成角的求法： （1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得． （2）向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为θ，与的夹角为φ，则有sinθ＝|cos φ|＝． 六．二面角的平面角及求法 【知识点的认识】 1、二面角的定义： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作