2.2 乘法公式-【题型·技巧培优系列】2022-2023学年七年级数学下册同步精讲精练(湘教版)

2.2 乘法公式 知识点一 平方差公式 我们把叫做平方差公式，即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。 知识点二 完全平方公式 我们把叫做完全平方公式，即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍。 知识点三 运用乘法公式进行计算 遇到多项式的乘法时，我们要先观察式子的特征，看能否运用乘法公式，以达到简化运算的目的。 题型一 利用乘法公式化简求值 【例题1】先化简，再求值：，其中，． 【变式1-1】先化简，再求值：，其中，． 【变式1-2】先化简，再求值： ，其中． 【变式1-3】先化简，再求值．，其中． 【变式1-4】先化简，再求值：，其中实数a，b满足． 【变式1-5】先化简，再求值．，其中． 题型二 利用完全平方公式的变形求值 【例题2】已知，，则的值为（    ） A．5 B．25 C．37 D．6 【变式2-1】若中，则（    ） A．10 B． C． D．40 【变式2-2】已知，则的值为（    ） A．10 B．17 C．26 D．33 【变式2-3】若，，则的值为（    ） A．21 B．29 C．17 D．33 【变式2-4】已知，，则的值为（　　） A．25 B．36 C．11 D．16 【变式2-5】已知，则（    ） A． B．3 C． D．9 【变式2-6】已知，，那么的值是（    ） A．11 B．13 C．37 D．85 【变式2-7】，为实数，整式的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式2-8】已知，则代数式的值为 _____． 【变式2-9】已知：，则________． 【变式2-10】已知，则______． 【变式2-11】多项式的最小值是______． 【变式2-12】已知a2－3a＋1＝0，则分式的值是_______． 题型三 乘法公式的实际应用 【例题3】如图1，长方形的两边分别是，，如图2的长方形的两边为，（其中m为正整数）． (1)求出两个长方形的面积S1、S2； (2)现有一个正方形，它的周长与图1的长方形的周长相等，试证明该正方形的面积与图1的长方形的面积的差是一个常数，并求出这个常数． 【变式3-1】某市有一块长为，宽为的长方形空地，规划部门计划这块地在中间留出一块边长为的正方形地来修建雕像，剩余部分进行绿化． (1)绿化部分的面积是多少平方米（用含，的式子表示）？ (2)若，满足，求绿化部分的面积． 【变式3-2】【阅读理解】 若满足，求的值． 解：设，则， ， 我们把这种方法叫做换元法．利用换元法达到简化方程的目的，体现了转化的数学思想． 【解决问题】 (1)若满足，则 ； (2)若满足，求的值； (3)如图，在长方形中，，点是边上的点，，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积和． 【变式3-3】数形结合可以让抽象的数学问题更加直观形象，课上老师准备了如图①所示的长为4a，宽为b的长方形纸片，沿虚线用剪刀剪出4个全等的小长方形，按照图②的形状拼成一个大正方形，其中阴影部分的图形是正方形． (1)填空：图②中阴影部分正方形的边长是______；（用a、b表示） 请你观察图形，写出、、ab之间的等量关系：______． 问题探究 (2)如图③是由两个正方形与一个长方形组成，其中小正方形的边长为m，面积为，大正方形的边长为n，面积为，若长方形的周长是14．．求长方形的面积． 拓展延伸 (3)图④中正方形的边长为x，，长方形的面积是100，四边形和四边形都是正方形，四边形是长方形，请直接写出四边形的面积=______． 【变式3-4】阅读：数学学习中，“算两次”是建立相等关系的一种重要思想，例如： 一条直线上有个点，它们可以确定多少条线段呢？ 方法一：从左至右，不重不漏的数．以为端点的线段 共条；以为端点的线段共条；以为端点的线段共条；……以为端点的线段是1条．以上累加起来即可． 方法二：每个点都能和除它以外的个点形成线段，共可形成条线段，但所有线段都数了两遍． (1)根据上述两种方法计算线段的总条数N，各写出一个用n表示N的表达式． 方法一： 方法二： (2)运用： ①试猜想之间的关系． ②计算： (3)拓展：七年级一班有8名班干部，现要随机选派3人参加某志愿者活动，共有 种不同的选派方案．（填数字） 【变式3-5】微专题探究学习：阅读探究学习过程，完成（1）小题中的填空、（2）小题的图形设计和（3）小题的求面积． 《面积与完全平方公式》 如图1，阴影部分是一个边长为的大正方形剪