第一章 5 数学归纳法-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册同步全程学习全书word（北师大版）  

*§5　数学归纳法 学习目标 1.通过数学归纳法的学习,了解数学归纳法的原理,发展数学抽象、逻辑推理素养. 2.通过学习利用数学归纳法证明数学命题,掌握数学归纳法的步骤,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题,提升数学运算素养. 在学校,我们经常会看到这样一种现象:排成一排的自行车,如果一个同学不小心将第一辆自行车弄倒了,那么整排自行车就会倒下. 探究1:试想要使整排自行车倒下,需要具备哪几个条件? 答案:(1)第一辆自行车倒下;(2)任意相邻的两辆自行车,前一辆倒下一定导致后一辆倒下. 探究2:这种现象对你有何启发? 答案:这种现象使我想到一些与正整数n有关的数学问题. 数学归纳法的概念 数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法.它的基本步骤是: (1)证明:当n取第一个值n0(n0是一个确定的正整数,如n0=1或2等)时,命题成立; (2)假设当n=k(k∈N+,k≥n0)时命题成立,证明当n=k+1时,命题也成立. 根据(1)(2)可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立. 思考:数学归纳法的初始值n0一定取1吗? 提示:不一定.n0的取值视具体情况而定. 做一做:用数学归纳法证明1+2+…+(2n+1)=(n+1)·(2n+1),在验证n=1成立时,左边所得的代数式是(　C　) A.1 B.1+3 C.1+2+3 D.1+2+3+4 解析:当n=1时,2n+1=2×1+1=3,所以左边为1+2+3.故选C. 数学归纳法两个步骤的联系 第一步是验证命题递推的基础,第二步是论证命题递推的依据,这两个步骤缺一不可,只完成第一步而缺少第二步就作出判断,可能得出不正确的结论.因为单靠第一步,无法递推下去,即n取n0以后的数时命题是否正确,我们无法判定,同样只有第二步而缺少第一步时,也可能得出不正确的结论,缺少第一步这个基础,假设就失去了成立的前提,第二步也就没有意义了. 　数学归纳法的基本原理及用数学归纳法证明恒等式 [例1] 证明:++…+=(n∈N+). 证明:(1)当n=1时,左边==,右边==,左边=右边,所以等式成立. (2)假设n=k(k≥1,k∈N+)时等式成立,即有 ++…+=, 则当n=k+1时, ++…++=+=== =. 所以当n=k+1时,等式也成立. 由(1)(2)可知,对一切n∈N+等式都成立. 用数学归纳法证明恒等式时,一是弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况;二是弄清从n=k到n=k+1等式两端增加了哪些项,减少了哪些项;三是证明n=k+1时结论也成立,要设法将待证式与归纳假设建立联系,并朝n=k+1证明目标的表达式变形. [针对训练] 用数学归纳法证明: (1-)(1-)(1-)·…·(1-)=(n≥2,n∈N+). 证明:①当n=2时,左边=1-=, 右边==,所以左边=右边. 所以n=2时等式成立. ②假设n=k(k≥2,k∈N+)时等式成立, 即(1-)(1-)·…·(1-)=. 那么当n=k+1时,利用归纳假设有 (1-)(1-)·…·(1-)[1-]= [1-]=·== , 即当n=k+1时等式也成立. 综合①②知,对任意n≥2,n∈N+等式恒成立. 　用数学归纳法证明不等式 [例2] (1)用数学归纳法证明不等式++…+>(n≥2,n∈N+)的过程中,由n=k推导n=k+1时,不等式的左边增加的式子是　　　　　　　;  (2)证明:不等式1+++…+<2(n∈N+). (1)解析:当n=k+1时左边的代数式是++…++,增加了两项与,但是少了一项,故不等式的左边增加的式子是+-=. 答案: (2)证明:①当n=1时,左边=1,右边=2,左边<右边,不等式成立. ②假设n=k(k≥1且k∈N+)时,不等式成立, 即1+++…+<2. 则当n=k+1时, 1+++…++<2+= <= =2, 所以当n=k+1时,不等式成立. 由①②可知,原不等式对任意n∈N+都成立. 变式探究:试用数学归纳法证明上例(1)中的不等式. 证明:①当n=2时,+=>,不等式成立. ②假设n=k(k≥2且k∈N+)时不等式成立, 即++…+>, 那么当n=k+1时, ++…+=++…++++-=(+++…+)++->++-=+-=+>. 所以,当n=k+1时,不等式也成立. 由①②可知,原不等式对任意n≥2的正整数都成立. 应用数学归纳法证明不等式应注意的两个问题 (1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时,如果应用其他办法不容易证,则可考虑应用数学归纳法. (2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n=k成立,推证n=k+1时也成立,证明时用上归纳假设后,可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法等证明. 　归纳——猜想——证明 [例3] 已知数列{an}满足关系式a1=a(a>0