第二章 6 用导数研究函数的性质-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册同步全程学习全书word（北师大版）  

§6　用导数研究函数的性质 6.1　函数的单调性 学习目标 1.通过学习导数与函数单调性的关系,理解函数的单调性与其导数正负的关系,提升数学抽象素养和数学运算素养. 2.通过学习利用导数研究函数的单调性问题,会判断函数的单调性及求函数的单调区间,提升逻辑推理素养和数学运算素养. 探究:如图(1)和(2)所示,在区间(a,b)内,分别观察f′(x)的符号,试分析f′(x)的符号与曲线y=f(x)在区间(a,b)对应的那一段上每一点处切线的斜率的关系、与f(x)在(a,b)上的单调性的关系. 答案:由题图(1)知,如果在区间(a,b)内,f′(x)>0,则曲线y=f(x)在区间(a,b)对应的那一段上每一点处切线的斜率都大于0,曲线呈上升状态,因此f(x)在(a,b)内单调递增. 由题图(2)知,如果在区间(a,b)内,f′(x)<0,则曲线y=f(x)在区间(a,b)对应的那一段上每一点处切线的斜率都小于0,曲线呈下降状态,因此f(x)在(a,b)内单调递减. 问题:观察函数的图象,探讨函数的单调性与其导函数正负的关系. 图①中的函数y=x的导函数y′=1,此函数的单调递增区间为(-∞,+∞); 图②中的函数y=x2的导函数y′=2x,此函数的单调递增区间为(0,+∞),单调递减区间为(-∞,0); 图③中的函数y=x3的导函数y′=3x2,此函数的单调递增区间为(-∞,+∞); 图④中的函数y=的导函数y′=-,此函数的单调递减区间为(-∞,0)和(0,+∞). 根据以上几例,思考函数的单调区间与导函数的正、负有什么关系? 提示:可以看出,函数的单调区间与导函数的正负有关,当导函数在某区间上大于0时,对应的函数单调递增,当导函数在某区间上小于0时,对应的函数单调递减. 函数f(x)的单调性与导函数f′(x)正负之间的关系 (1)若在某个区间上,函数y=f(x)的导数 f′(x)>0,则在这个区间上,函数y=f(x)单调递增; (2)若在某个区间上,函数y=f(x)的导数 f′(x)<0,则在这个区间上,函数y=f(x)单调递减. 若在某个区间上,f′(x)≥0,且只在有限个点为0,则在这个区间上,函数y=f(x)单调递增;若在某个区间上,f′(x)≤0,且只在有限个点为0,则在这个区间上,函数y=f(x)单调递减. 思考:(1)“若函数y=f(x)在区间(a,b)上恒有f′(x)>0,则f(x)在(a,b)上单调递增”,反之,若f(x)在(a,b)上单调递增,能推出在(a,b)上恒有f′(x)>0吗? (2)“若函数y=f(x)在区间(a,b)上恒有f′(x)<0,则f(x)在(a,b)上单调递减”,反之,若f(x)在(a,b)上单调递减,能推出在(a,b)上恒有f′(x)<0吗? 提示:(1)不能,若f(x)在(a,b)上单调递增,则在(a,b)上恒有f′(x)≥0. (2)不能,若f(x)在(a,b)上单调递减,则在(a,b)上恒有f′(x)≤0. 做一做:(1)函数y=f(x)的图象如图所示,则(　　) A.f′(3)>0 B.f′(3)<0 C.f′(3)=0 D.f′(3)的正负不确定 (2)已知函数f(x)=x2-x,则f(x)的单调递增区间为　　　　　.  解析:(1)由题图可知,函数f(x)在(1,5)上单调递减,在(1,5)上有f′(x)<0,故f′(3)<0.故选B. (2)因为f′(x)=x-1,令f′(x)>0,解得x>1, 故f(x)的单调递增区间为(1,+∞). 答案:(1)B　(2)(1,+∞) 函数的增减快慢与导数 一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化较快,这时,函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数的图象就“平缓”一些. 如图,函数y=f(x)的图象在(0,a)内“陡峭”,在(a,+∞)内“平缓”. 说明:通过函数的图象,不仅可以看出函数的增减,还可以看出函数增减的快慢.从导数的角度研究了函数的单调性及增减快慢后,我们就能根据函数图象大致画出导函数的图象,反之也可行. 　导数与函数图象的关系 [例1] (1)设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则导函数y=f′(x)的图象可能为(　　) (2)已知函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象只可能是所给选项中的(　　) 解析:(1)由函数的图象可知,当x<0时,函数单调递增,导数始终为正;当x>0时,函数先单调递增后单调递减再单调递增,即导数先正后负再正,对照选项D正确.故选D. (2)因为导函数的正负确定了函数的单调性, 所以从导函数f′(x)的图象可知,令f′(x)=0, 得x=0或x=a(a>0), 所以函数在(-∞,0)上单调递