8.1 成对数据的统计相关性-2022-2023学年高二数学新教材同步知识题型汇总及跟踪测试（人教A版2019选择性必修第三册）

8.1成对数据的统计相关性 目标素养 课程目标 核心素养 1. 理解两个变量的相关关系的概念； 2．会作散点图，并利用散点图判断两个变量之间是否具有相关关系； 3．会根据相关系数判断两个变量的相关程度． 1.数学抽象：相关关系 2.逻辑推理：相关系数公式推导 3.数学运算：求相关系数 4.数学建模：模型化思想 概念梳理 1．变量的相关关系 (1)相关关系：两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系. (2)散点图：把成对样本数据用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成的统计图叫做散点图. (3)正相关与负相关. ①正相关：如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称这两个变量正相关； ②负相关：如果从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，我们就称这两个变量负相关. (4)线性相关与非线性相关(或曲线相关). ①线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关； ②非线性相关(或曲线相关)：一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关. 2．样本相关系数 对于变量x和变量y，设经过随机抽样获得的成对样本数据为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn的均值分别为和，则r＝. 我们称r为变量x和变量y的样本相关系数. 【概念辨析】 样本相关系数r的性质 (1)当r>0时，称成对样本数据正相关；当r<0时，称成对样本数据负相关. (2)当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱. (3)样本相关系数r的取值范围为[－1,1]. 正误辨析 判断下列说法是否正确(正确的打“√”，错误的打“×”) 1. 两个变量的相关关系是一种确定的关系．(　×　) 【解析】两个变量的相关关系不是一种确定的关系，是一种随机关系． 2. 两个变量的相关系数越大，它们的相关程度越强．(　×　) 【解析】相关系数|r|越接近1，线性相关程度越强；|r|越接近0，线性相关程度越弱． 3. 当一个变量的值增加时，另一个变量的值随之减少，则称这两个变量负相关．(　×　) 【解析】存在相关关系的两个变量，当一个变量增加时，另一个变量的相应值呈减少的趋势，则称这两个变量负相关． 4. 一般地，样本容量越大，用样本相关系数估计两个变量的相关系数的效果越好．(　√　) 【解析】说法正确 初试身手 1. 下列每组的两个变量之间具有相关关系的是(　　) A.乌鸦叫，灾难到 B.圆心角的大小与半径 C.物体的质量一定，其密度与体积之间的关系 D.儿童的年龄与身高 【解析】A，B中的两个变量之间没有关系， C中的两个变量之间是函数关系， D中的两个变量之间是相关关系. 2. (多选)下列说法正确的是(　　) A.任何两个变量都具有相关关系 B.圆的周长与该圆的半径具有相关关系 C.某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系 D.根据散点图可判断两变量是否具有线性相关关系 【解析】A显然不对，B是函数关系，C，D正确. 3. 下列图形中具有相关关系的两个变量是(　　) 【解析】A和B符合函数关系，即对x的每一个值，y都有唯一确定的值与之对应； 从C，D散点图来看，D的散点都在某一条直线附近波动，因此两变量具有相关关系. 4. 下列两个变量之间的关系，是函数关系的有__________(填序号). ①球的体积和它的半径； ②人的身高和体重； ③底面积为定值的长方体的体积和高； ④城镇居民的消费水平和平均工资. 【解析】球的体积公式为V＝πr3，长方体的体积V＝S·h，都是确定的关系，因此①③中两个变量为函数关系， 而②④中的两个变量，不是函数关系而是相关关系. 5. 5名学生的数学和物理成绩如下表： 生学成绩学科 A B C D E 数学 80 75 70 65 60 物理 70 66 68 64 62 画出散点图，并判断它们是否具有相关关系. 【解析】把数学成绩作为横坐标，把相应的物理成绩作为纵坐标，在直角坐标系中描点，作出散点图如图. 从图中可以直观地看出数学成绩和物理成绩具有相关关系，且当数学成绩增大时，物理成绩也在由小变大，即它们具有相关关系且是正相关. 题型讲解 探究（一）由定义判断相关关系 【典例1】判断在下列各变量之间，是否存在相关关系. (1)正方体的体积与棱长之间的关系； (2)一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系； (3)人的身高与年龄之间的关系； (4)家庭的支出与收入之间的关系；