第二章 4 导数的四则运算法则-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册同步全程学习课时作业word（北师大版）  

§4　导数的四则运算法则 4.1　导数的加法与减法法则 4.2　导数的乘法与除法法则 选题明细表 知识点、方法 题号 导数的四则运算 1,3,4,5 利用导数求曲线的切线方程 2,8,10 导数运算法则的综合应用 6,7,9,11,12 基础巩固 1.(2022·北京朝阳区高二期末)已知函数f(x)=,则f′(x)=(　A　) A. B. C. D. 解析:因为f(x)=,所以f′(x)==,即f′(x)=.故选A. 2.(多选题)曲线f(x)=x3+x-2在点P0处的切线平行于直线y=4x-1,则点P0的坐标为(　AC　) A.(1,0) B.(2,8) C.(-1,-4) D.(2,8)和(-1,-4) 解析:因为f(x)=x3+x-2,所以f′(x)=3x2+1,设P0(x0,y0),则f′(x0)= 3+1=4,所以x0=±1,故点P0的坐标为(1,0)或(-1,-4).故选AC. 3.(2022·江西南昌高二期末)已知函数f(x)=f′()sin x-cos x,则f()的值为(　B　) A.- B.0 C.1 D. 解析:因为f′(x)=f′()cos x+sin x,则f′()=f′()cos+sin,即f′()=f′()+,解得f′()=,故f(x)=sin x-cos x,所以f()=sin-cos=-=0.故选B. 4.(2022·宁夏青铜峡市高级中学高二期末)若函数f(x)=(x-2 019) (x-2 020)(x-2 021)(x-2 022),则f′(2 021)=(　A　) A.-2 B.-1 C.0 D.1 解析:令g(x)=(x-2 019)(x-2 020)(x-2 022),则f(x)=(x-2 021)· g(x),求导得f′(x)=1·g(x)+(x-2 021)·g′(x),所以f′(2 021)= g(2 021)=2×1×(-1)=-2.故选A. 5.设f(x)=-,则f′(1)=　　　　.  解析:因为f′(x)=(-)′=-+, 所以f′(1)=-1+=-. 答案:- 6.已知曲线f(x)=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=　　　　.  解析:法一　因为f(x)=x+ln x,所以f′(x)=1+,当x=1时,f′(1)=2,所以曲线f(x)=x+ln x在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.因为y=2x-1与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,所以a≠0(当a=0时曲线变为y=2x+1与已知直线平行).由消去y,得ax2+ax+2=0.由Δ=a2-8a=0,解得a=8. 法二　同法一步骤得切线方程为y=2x-1. 设y=2x-1与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切于点(x0,a+(a+2)x0+1).因为y′=2ax+a+2,所以当x=x0时,y′=2ax0+a+2. 由解得 答案:8 能力提升 7.(2022·广西河池高二期末)已知点P是曲线y=上一动点,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是(　A　) A.(0,] B.[,) C.[,] D.(0,] 解析:函数y=的定义域是R,求导得y′=,而ex>0,则曲线在点P(t,y0)(t∈R)处的切线的斜率k==≤=,当且仅当et=,即t=ln 3时取等号,而>0,于是得0<tan α≤,又倾斜角α为锐角,因此,0<α≤,所以α的取值范围是(0,].故选A. 8.(多选题)直线y=x+b能作为下列函数的图象的切线的是(　BCD　) A.f (x)= B.f (x)=x4 C.f (x)=sin x D.f (x)=ex 解析:f (x)=,故f′(x)=-=,无解,A不符合题意;f (x)=x4,故 f′(x)=4x3=,故x=,即曲线在点(,)处的切线方程为y=x-,B符合题意;f(x)=sin x,故f′(x)=cos x=,取x=,故曲线在点(,)处的切线方程为y=x-+,C符合题意;f (x)=ex,故f′(x)=ex=,故x=-ln 2,曲线在点(-ln 2,)处的切线方程为y=x+ln 2+,D符合题意.故选BCD. 9.(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是　　　　.  解析:因为y=(x+a)ex,所以y′=(x+a+1)ex.设切点为A(x0,(x0+a)) (x0≠0),O为坐标原点,由题意,得切线斜率kOA=(x0+a+1)=,化简,得+ax0-a=0.因为曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,所以关于+ax0-a=0有两个不同的根,所以Δ=a2+4a>0,解得a<