第1章 二次根式 复习课（教参）-【全效学习】2022-2023学年八年级下册数学（浙教版）

第1章复习课 类型之一　二次根式有意义的条件及非负性 【典例1】 如果y＝＋3＋2，那么xy＝__49__. 【解析】 由题意，得 ∴x＝7，∴y＝2，∴xy＝72＝49. 【跟踪训练1­1】 若在实数范围内有意义，则x的取值范围是(　D　) A. －1＜x＜1 B. x≤1 C. x＜1且x≠0 D. x＜1且x≠－1 【跟踪训练1­2】 若|x－2|＋＝0，则－xy＝__2__. 【解析】 ∵|x－2|＋＝0， ∴x－2＝0，x＋y＝0， ∴x＝2，y＝－2， ∴－xy＝－×2×(－2)＝2. 【跟踪训练1­3】 当x为何值时，下列二次根式在实数范围内有意义？ (1). (2). (3). (4). 解：(1)由x＋2≥0，得x≥－6， ∴当x≥－6时， 有意义． (2)当x取任意实数时，都有意义． (3)由得x≥－1且x≠2， ∴当x≥－1且x≠2时，有意义． (4)由得－5≤x＜3， ∴当－5≤x＜3时，有意义． 类型之二　二次根式的性质 【典例2】 设＝m，＝n，则可以表示为(　D　) A. 　　　B. 　　　C. 　　　D. 【解析】 ＝＝＝＝＝×4××＝. 【跟踪训练2­1】 实数a在数轴上的位置如图所示，则＋化简后为(　A　) 跟踪训练2­1图 A. 7 B. －7 C. 2a－13 D. －2a＋13 【解析】 由数轴可知4＜a＜8， ∴＋＝a－3＋10－a＝7. 【跟踪训练2­2】 化简二次根式的结果是__－a__. 【解析】 ∵有意义， ∴－a3≥0，∴a≤0， ∴＝－a. 类型之三　二次根式的运算 【典例3】 计算： (1)4－. 解：原式＝4－3－＝. (2)(－1)2＋2－(－2)(＋2)． 解：原式＝2－2＋1＋4－(5－4) ＝3－2＋4－1 ＝2＋2. 【跟踪训练3­1】 下列等式中，成立的是(　D　) A. 3＋4＝7 B. ×＝ C. ÷＝2 D. ＝3 【跟踪训练3­2】 如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上．若BD是△ABC的高，则BD的长为(　D　) A. 　　　B. C. 　　　D. 跟踪训练3­2图 【解析】 易得△ABC的面积为3.5，AC＝， ∴BD＝3.5×2÷＝. 【跟踪训练3­3】 已知a＝＋1，b＝－1.求： (1)a2＋b2的值． (2)＋的值． 解：(1)∵a＝＋1，b＝－1， ∴a＋b＝2，ab＝1， ∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(2)2－2×1＝6. (2)∵a＞0，b＞0， ∴原式＝＋＝＋＝·. 又∵a＋b＝2，ab＝1， ∴原式＝×＝2. 【跟踪训练3­4】 阅读材料： 学习了完全平方公式和二次根式后，可以知道所有的非负数都可以看成是一个数的平方，如3＝()2，5＝()2，那么(－1)2＝()2－2×1×＋12＝2－2＋1＝3－2.反之3－2＝2－2＋1＝(－1)2，∴＝－1. 用上述方法化简： (1). (2). 解：(1)＝＝＋1. (2)＝＝－1. 类型之四　二次根式运算的应用 【典例4】 如图，扶梯AB的坡比为4∶3，滑梯CD的坡比为1∶2，BC平行于地面，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F.若AE＝30 dm，BC＝40 dm，一男孩从扶梯走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下，他经过的总路程是多少(结果保留根号)? 　典例4图 解：∵扶梯AB的坡比为4∶3，BE⊥AD，AE＝30 dm， ∴BE＝40 dm， ∴AB＝＝50 dm. 易知CF＝BE＝40 dm. 又∵CD的坡比为1∶2，CF⊥AD， ∴FD＝2CF＝2×40＝80(dm)， ∴CD＝＝40 dm， ∴他经过的总路程＝AB＋BC＋CD＝50＋40＋40＝(90＋40)dm. 【跟踪训练4】 如图，正在执行巡航任务的海监船以50海里/时的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1 h到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上． (1)求∠APB的度数． (2)已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问：海监船继续向正东方向航行是否安全？ 跟踪训练4图 　跟踪训练4答图 解：(1)易知∠PAB＝30°，∠ABP＝90°＋30°＝120°， ∴∠APB＝180°－∠PAB－∠ABP＝30°. (2)安全． 如答图，过点P作PH⊥AB，交AB的延长线于点H. ∵∠PAB＝∠APB＝30°， ∴BP＝BA＝50×1＝50(海里)． 易知∠PBH＝60°，∴∠BPH＝30°， ∴BH＝BP＝25海里， ∴PH＝＝25海里>25海里， ∴海监船继续向正东方向航行是安全的． 类型之五　二次根式的规律探索型问题 【典例5】 (1)观察下列各式： ＝12＋3×1＋1， ＝22＋3×2＋