考点20 数列13种常见考法归类-【考点通关】2022-2023学年高二数学题型归纳与解题策略(人教A版2019选择性必修第二册)

令学利科购 学科网原创，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 考点20数列13种常见考法归类 第一养 解题策略 策略1数列的前n项和Sn与an的关系 L把数列a}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列和}的前n项和，记作S.,即 Sn=4十a十十ar S(n=1) 2.数列an}的前n项和S,和通项an的关系：则an= Sn-S.-(n≥2) 特别地，若a1满足an=S。一S.-1(22),则不需要分段. 策略2等差数列的四种判断方法 (山定义法：对于数列{an},若an1-an=d(neN)(常数，则数列{an}是等差数列； (2)等差中项：对于数列{an},若2an1=an+an+2(n∈N*),则数列{an}是等差数列： ()通项公式：an=p1+q(p,g为常数，n∈N*)一{an}是等差数列： (4)前n项和公式：Sn=An2+Bn(A,B为常数，n∈V*)曰{an}是等差数列； (⑤{a}是等差数列曰 是等差数列， 提醒：判衡时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证2一a1=d这一 关键条件 策略3等差数列的性质应用 (1)通项公式的推广：在等差数列{a,中，对任意m,neN,a.=an+m-m)d,d=a。-a(m≠) n-m (2)在等差数列an}中，若m,n,p,q∈N.且m+n=p+q,则an+an=a。+a,特殊地， 2m=p+g时，则2am=a。+a,，am是a。、a,的等差中项. 1 头原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科利网 学科网原创，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 (3)ak,a+m,ak+2m.仍是等差数列，公差为mdk,m∈N: (4)两个等差数列{an}与b}的和差的数列{an±b}仍为等差数列，pan十qb}也是等差数列 (5)若数列{an}是等差数列，则{kan}仍为等差数列。 (6)如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的 公差是两个原等差数列公差的最小公倍数 (7)等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即S,S2m一S,S。一S2.成等差数列，公差 为n2d; (8)设数列{an}是等差数列，且公差为d, ①若项数为偶数2n,则S2m=n(a1十a2)=n(am十aa+i):S%一S奇=nd:S奇S偶=anan十1： ②若项数为奇数，设共有21-1项，则Sm-1=(2n-1)anS奇-S=a。=a中；② S n-1 (9)等差数列中，a。=q,a。=p(p≠q),则ap+g=0,Sm+n=Sm+Sn+nd. 注：在等差数列中，若Sw=m,Sm=n,则Sm+m=一(m十) 10）若a,}与}为等差数列，且前n项和分别为S与S,则二=、山 b S'2- (11)若a}是等差数列，则小f(Snn)也成等差数列，其首项与a}首项相同，公差是{a}公差的12： 策略4等差数列的前n项和的最值 ()利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值. 在等差数列am}中， 当a,>0,d<0时，Sn有最大值（即所有非负项之和；a,<0,d>0时，S,有最小值（即所有非正项之 和： an≥0 若已知a。,则S,最值时n的值(n∈N,)则当a,>0,d<0,满足 的项数n使得S取最大值， an1≤0 an≤0 当a1<0,d>0时，满足 的项数n使得Sn取最小值. an+1≥0 (2)利用等差数列的前n项和：Sn=d2n2+\a\vs4\al\co1(a1一\f(d2)n(S,=An2+Bn(A,B为常数， 2 、原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究： 学科网 学科网原创，让学司更客易！ JP.ZXXK.COM 学科网精品频道全力推荐 n∈N*),若d≠0，则从二次函数的角度看：当心0时，S.有最小值：当d<0时，S.有最大值.当n取 最接近对称轴的正整数时，S.取到最值，通过配方或借助图像，二次函数的性质等，将等差数列的前项和 最值间题转化为二次函数的最值的方法求解 注：当a>0,心0时S有最小值S,当a<0,d④时S.有最大值S:2)S.取得最大或最小值时的n不一 定唯一. 策略5等比数列的判定与证明 证明等比数列的方法 1.定义法：anan-1=qn∈N°且n≥2，q为不为0的常数)： 2.等比中项法：a2n=44-1+1(n∈N且n≥2)： 3.通项公式法：an=4q-1 注：用定义法证明时，anan一1和an十1an中的n的范围不同 策略6等比数列性质的应用 (1)在等比数列{an}中，相隔等距离的项组成的数列是等比数列，如：a,马，马，马，马： C%,413’a8,…; 注：若m,p,n成等差数列，则aa:a