5.1.2　瞬时变化率——导数（1）（同步教学设计）-苏教版高二数学选择性必修第一册同步教学（课件+教学设计+单元复习）

风凰高中数学教学参考书配套教学软件教学设计 5.1.2瞬时变化率——导数(1) 江苏省泰兴中学吴卫东邵艳 郭红梅潘翠萍 教学目标： 1.理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念： 2.理解并掌握曲线在一点处的切线的斜率的定义以及切线方程的求法： 3.理解切线概念的实际背景，培养学生解决实际问题的能力和培养学生转 化问题的能力及数形结合思想， 教学重点： 理解并掌握曲线在一点处的切线的斜率的定义以及切线方程的求法 教学难点： 用“无限逼近”、“局部以直代曲”的思想理解某一点处切线的斜率 教学过程： 一、问题情境 1.问题情境。 如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？ 如果将点P附近的曲线放大，那么就会发现，曲线在点P附近看上去有点 像是直线， 如果将点P附近的曲线再放大，那么就会发现，曲线在点P附近看上去几 乎成了直线.事实上，如果继续放大，那么曲线在点P附近将逼近一条确定的直 线1，该直线1是经过点P的所有直线中最逼近曲线的一条直线 因此，在点P附近我们可以用这条直线1来代替曲线，也就是说，点P附近， 曲线可以看做直线（即在很小的范围内以直代曲）. 风凰高中数学教学参考书配套教学软件教学设计 2.探究活动. 0 如图所示，直线1,1，为经过曲线上一点P的两条直线 (1)试判断哪一条直线在点P附近更加逼近曲线： (2)在点P附近能作出一条比，L,更加逼近曲线的直线1，吗？ (3)在点P附近能作出一条比1，1，L,更加逼近曲线的直线吗？ 二、建构数学 切线定义：如图，设Q为曲线C上不同于P的一点，直线PQ称为曲线的 割线.随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PO在点P附近逼近曲线C,当点 Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为经过点P处最逼近曲线的直线1，这条 直线1也称为曲线在点P处的切线，这种方法叫割线通近切线， 思考：如上图，P为已知曲线C上的一点，如何求出点P处的切线方程？ 三、数学运用 例1试求f(x)=x2在点(2,4)处的切线斜率. 解法一分析：设P(2,4),Q(o,xo), 风凰高中数学教学参考书配套教学软件教学设计 则割线PO的斜率为： o-f上42-4 Xo-2 x。一2 xo+2 当Q沿曲线逼近点P时，割线PQ逼近点P处的切线，从而割线斜率逼近 切线斜率； 当Q点横坐标无限趋近于P点横坐标时，即xo无限趋近于2时，k0无限 趋近于常数4. 从而曲线x)=x2在点(2,4)处的切线斜率为4. 解法二设P(2,4),Q(2十△x,(2+△x)),则割线PQ的斜率为： ko=2+42-4 △r =4Ar+△r2 =4+△x Ar 当△x无限趋近于0时，0无限趋近于常数4，从而曲线x)=x2,在点(2， 4)处的切线斜率为4。 练习试求f(x)=x2+1在x=1处的切线斜率. 解：设P(1,2),Q1+△x,(1+△x)2+1),则割线PQ的斜率为： ko=0+A2+H-2 △x =2Ar+4r2 △x =2+△x 当△x无限趋近于0时，o无限趋近于常数2，从而曲线x)=x2+1在x=1 处的切线斜率为2， 小结求曲线y=f(x)上一点处的切线斜率的一般步骤： (1)找到定点P的坐标，设出动点Q的坐标： (2)求出割线PQ的斜率： (3)当△x→∞时，割线逼近切线，那么割线斜率逼近切线斜率. 思考：如上图，P为已知曲线C上的一点，如何求出点P处的切线方程？ 解：设P(xo,f(x),Q(x+△，f(xo+△r) 风周高中数学教学参考书配套教学软件教学设计 o=f。+4f_f,+△)-f (x。+△r)-xo △x 所以，当△x无限趋近于0时， fx+△)-fxo无限趋近于点P(x,f(x,》 △x 处的切线的斜率. 变式训练： 1.已知f(x)=x2,求曲线y=f(x)在x=-1处的切线斜率和切线方程； 2.已知f(x)=x,求曲线y=f(x)在x=-1处的切线斜率和切线方程： 3.已知f(x)=V-x,求曲线y=f(x)在x=于处的切线斜率和切线方程. 四、课堂练习 已知=，求曲线y=f)在x=处的切线斜率和切线方程。 五、回顾小结 1.曲线上一点P处的切线是过点P的所有直线中最接近P点附近曲线的直 线，则P点处的变化趋势可以由该点处的切线反映（局部以直代曲）· 2.根据定义，利用割线逼近切线的方法，可以求出曲线在一点处的切线斜 率和方程。 六、课外作业