专题06 正弦定理、余弦定理及其应用（知识串讲+热考题型+专题训练）-2022-2023学年高一数学下学期期中期末考点大串讲（苏教版2019必修第二册）

专题6 正弦定理、余弦定理及其应用 （一）正弦定理 1.正弦定理：在中，、、分别为角、、的对边，，则有 (为的外接圆的半径) 2.正弦定理的变形公式： ①，，； ②，，； ③； 3.三角形面积公式： 其中 最为常用 4.已知a、b、A，△ABC解的情况如下图示． (ⅰ)A为钝角或直角时解的情况如下： (ⅱ)A为锐角时，解的情况如下： （二）余弦定理 1.余弦定理文字表述：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. 2.余弦定理公式：在中，有， b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC 3.推论：，， 4.余弦定理和勾股定理： 在△ABC中，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，若角C＝90°，则cosC＝0，于是c2＝a2＋b2，这说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广． 设c是△ABC中最大的边(或C是△ABC中最大的角)，则 a2＋b2<c2⇔△ABC是钝角三角形，且角C为钝角； a2＋b2＝c2⇔△ABC是直角三角形，且角C为直角_； a2＋b2>c2⇔△ABC是锐角三角形，且角C为锐角 （三）测距、测角中的常用术语 1.方位角：正北方向顺时针转到目标方向线所成的角叫方位角． 2.方向角：从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角叫方向角.实际应用中常用北偏东(西)若干度，南偏东(西)若干度来表述． 3.仰角和俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平线和目标视线的夹角，目标视线在水平线上方时叫仰角，目标视线在水平线下方时叫俯角，如图所示． 4.视角 观察物体的两端视线张开的角度，叫做视角． 5.坡角、坡比 (1)坡角：坡面与水平面的夹角．如下图中的角α． (2)坡比：坡面的铅直高度与水平宽度之比．如上图中的． （四）实际测量中的常见问题 题型一 利用正、余弦定理解三角形 【典例1】（2023·高一单元测试）在中，角的对边分别为，的面积为，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2023年河北省普通高中学业水平合格性考试）在中，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【典例3】（2021春·陕西榆林·高二陕西省神木中学校考阶段练习）在中，、、分别是内角、、的对边，，，. (1)求的值； (2)求的值. 【典例4】（广东省燕博园2023届高三下学期综合能力数学试题）已知中，内角的对边分别为，且，，． (1)求； (2)若与在同一个平面内，且，求的最大值． 【总结提升】 1.正弦定理问题： (1)已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角. 2.余弦定理问题： (1)已知三边，求各角； (2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角. 3.常见解题策略： (1)在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其他边角的问题时，首先必须判明是否有解，(例如在中，已知，则 ，问题就无解)，如果有解，是一解，还是两解． (2)正、余弦定理可将三角形边的关系转化为角的关系，也可将角(三角函数)的关系转化为边的关系． (3)在三角形的判断中注意应用“大边对大角”． (4)已知边多优先考虑余弦定理，角多优先考虑正弦定理． 题型二 利用正、余弦定理判定三角形的形状 【典例5】（2023春·湖南常德·高一临澧县第一中学校考阶段练习）在中，角的对边分别为，若，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【典例6】（2023春·安徽铜陵·高一铜陵一中校考阶段练习）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状为__________ 【典例7】（2023春·安徽铜陵·高一铜陵一中校考阶段练习）在中，角所对的边长分别为． (1)若，求的面积； (2)是否存在正整数a，使得为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． 【规律方法】 1.判定三角形形状的方法： （1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如 a＝2Rsin A，等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系，如 sin A＝sin B⇔A＝B；sin(A－B)＝0⇔ A＝B；sin 2A＝sin 2B⇔A＝B 或 A＋B＝等． （2）利用正弦定理、余弦定理化角为边，如等，通过代数恒等变换，求出三条边之 间的关系进行判断． （3）注意无论是化边还是化角，在化简过程中出现公因式不要轻易约掉，否则会有漏掉一种形状的可能． 2.特别提醒： (1)判断出一个三角形是等腰三角形后，还要进一步讨论它是否可能是等边三角形或等腰直角三角形，不要匆忙下结论； (2)在△ABC中，若sin2A＝si