11.1 余弦定理-2022-2023学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019必修第二册）

11.1 余弦定理 【考点梳理】 考点一　余弦定理 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有 余弦定理 语言叙述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 公式表达 a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝a2＋c2－2accos B， c2＝a2＋b2－2abcos C 推论 cos A＝， cos B＝， cos C＝ 考点二　余弦定理可以用于两类解三角形问题 1.已知三角形的两边和它们的夹角，求三角形的第三边和其他两个角. 2.已知三角形的三边，求三角形的三个角. 考点三　解三角形 一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 【题型归纳】 题型一：余弦定理解三角形 、、单选题 1．在中，若，，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．在中，角、、对的边分别为、、．若，，，则角等于（    ） A． B． C． D． 3．在中，角所对的边分别是，若，则角的大小为（    ） A． B． C． D． 题型二：余弦定理边角互化判断三角形的形状 4．在中，（分别为角的对边），则一定是（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 5．在中，角，，所对的边分别为，，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．在中，角，，的对边分别是，，，已知，则的形状是（    ）． A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 题型三：余弦定理的综合应用问题 7．在中，已知，，． (1)求的值； (2)若点在边上，且，求的长． 8．已知 的三内角 A , B , C 所对的边分别为， 且 (1)求角C﹔ (2)若，,求的值； 9．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设的面积为S，． (1)求的值； (2)若，求b的值． 【双基达标】 1、 单选题 10．中，角的对边分别为，且，，，那么满足条件的三角形的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 11．在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若A＝60°，b＝2，c＝3，则a＝（　　） A． B． C．4 D． 12．在中，若，则（    ） A． B． C． D． 13．在中，分别为角的对边，且满足，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．直角三角形或等腰三角形 D．等腰直角三角形 14．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则cos∠ADC的值为（　　） A． B． C． D． 15．（1）在中，已知，求的值； （2）在中，已知，解这个三角形． 16．在中，有. (1)求角的大小； (2)若，求的面积. 【高分突破】 一：单选题 17．在中，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 18．△ABC中，若a2=b2+c2+bc，则∠A=（    ） A．60° B．45° C．120° D．30° 19．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则B等于（    ） A． B． C．或 D．或 20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则该三角形一定是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 21．在ABC中，，，a，b是方程的两个根，且，则边AB的长为（    ） A．10 B． C． D．5 二、多选题 22．已知 中，内角所对的边分别为， 且， 则的值可能是 （    ） A． B． C． D． 23．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法中正确的是（    ） A．在中，若，则C是锐角 B．在中，若，则 C．在中，若，则一定是直角三角形 D．任何三角形的三边之比不可能是 24．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则B的值为（    ） A． B． C． D． 25．在中，、、分别为角、、的对边，已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 26．如图所示，中，，点M为线段AB中点，P为线段CM的中点，延长AP交边BC于点N，则下列结论正确的有（    ）． A． B． C． D．与夹角的余弦值为 三、填空题 27．在中，角所对边分别为．若，则______． 28．在中，内角，，所对的边分别是，，，若，，，则______． 29．任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”：的三边是，它们所对的角分别是，则有，，．请利用上述知识解答下面的题：在中，若，则 ______． 30．在中，角，，所对的边为，，，且，，，则的值等于__________．