6.3二项式定理 同步复习讲义——2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

高二数学 同步复习讲义（人教A版（2019）） 11 二 项 式 定 理 ◇ 知 识 链 接 ◇ 知识链接01 二项式定理 二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N *) 二项展开式的项数 共n＋1项 二项展开式的通项公式 Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1项 二项式系数 二项展开式中各项的系数C，C，…，C 知识链接02 二项式系数的性质 知识链接03 赋值法求系数和的应用技巧 （1）对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法； （2）若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn， 则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)； 奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝ ； 偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝ ； 令x＝0，可得a0＝f(0)． 知识链接04 (a＋b＋c)n展开式中特定项的求解方法 ◇ 典 例 剖 析 ◇ 典例剖析01 二项展开式中的特定项问题 （1）在(－2)5的展开式中，x2的系数为________． （2）在 (＋x)9的展开式中，常数项是____，系数为有理数的项的个数是____． （3）二项式10的展开式中，项的系数是________． 　 　 （4）6的展开式的常数项为160，则实数a＝________． （5）5的展开式中常数项为________． （6）(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为________． （7）(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为________． （8）(x2＋x＋1)(x－1)4的展开式中，x3的系数为________． （9）(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为________． （10）5的展开式中的常数项为________． （11）(1＋2x－3x2)5的展开式中x5的系数为________． （12）5的展开式中x2的系数是________． （13）(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中x2的系数是________． （14）10的展开式中所有的有理项为________． （15）已知(x－1)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为0，则正实数a＝________． 典例剖析02 二项展开式中的二项式系数和与系数和问题 （1）若二项式n的展开式的二项式系数之和为8，则该展开式每一项的系数之和为________． （2）若(2－x)7＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a7(1＋x)7， 则a0＋a1＋a2＋…＋a6的值为________． （3）已知m是常数，若(mx－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0 且a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝33，则m＝________． （4）若(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5， 则|a0|－|a1|＋|a2|－|a3|＋|a4|－|a5|＝________． （5）若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4, 则a0＋a2＋a4的值为________． （6）若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9， 且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为________． （7）(多选)已知(x－1)5＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a5(x＋1)5，则(　　) A．a0＝－32 B．a2＝－80 C．a3＋4a4＝0 D．a0＋a1＋…＋a5＝1 （8）(多选)关于多项式6的展开式，下列结论正确的是(　　) A．各项系数之和为1 B．各项系数的绝对值之和为212 C．存在常数项 D．x3的系数为40 典例剖析03 二项展开式中的系数最值问题 （1）二项式n的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x的指数为整数的项的个数为________． （2）在n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项的系数为________． （3）n的展开式中各项系数之和大于8，但小于32，则展开式中系数最大的项是________． （4）8展开式中系数最大的项是第________项． （5）在8的展开式中，系数的绝对值最大的项是第________项． ◇ 小 试 牛 刀 ◇ 1．C＋C＋C＋…＋C＝________． 2